Test di ipotesi sulla matrice di covarianza inversa

Supponiamo che io osservi iid e desidero testare vech per un matrice conforme e vettore . Esistono lavori noti su questo problema? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

L'ovvio (per me) tentativo sarebbe attraverso un test del rapporto di verosimiglianza, ma sembra che massimizzare la verosimiglianza soggetta ai vincoli di richiederebbe un risolutore di SDP e potrebbe essere piuttosto peloso. $H_0$

— shabbychef
fonte

Hai altri vincoli su ? Se è invertibile, quindi . Il problema quindi è pari a un problema ben noto: quello di testare se . Qui (ricorda che determina modo univoco).

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$

B

$B$

— Martedì

@ MånsT; purtroppo sono interessato al caso generale. In genere avrà circa 10 righe e 400 colonne circa.

A

$A$

— Shabbychef,

Una cosa che mi chiedo di questo problema riguarda la fattibilità. Ovviamente è facile trovare coppie tali che nessuna matrice semidefinita positiva possa soddisfare i vincoli. Potenzialmente più problematico per un test del rapporto di verosimiglianza è che sembrerebbero esserci casi in cui anche quando l'ipotesi nulla era vera, con alta probabilità si ottiene un'istanza problematica non fattibile. Forse quest'ultima parte è sbagliata però. (+1) Tendi a porre problemi interessanti e stimolanti. Mi piace leggere e pensare un po 'a loro.

(A, a)

$(A,a)$

— cardinale il

@cardinal Buona cattura! Non ci avevo pensato perché, nell'applicazione che sto prendendo in considerazione, l'ipotesi nulla limita solo gli elementi non diagonali di (le colonne corrispondenti di sono tutte zero). Dato che la diagonale può essere arbitrariamente grande, posso garantire la fattibilità.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

— shabbychef,

Beran e Srivastava (1985, Annals of Statistics) avevano un articolo in cui proponevano un approccio bootstrap generale per applicare una rotazione alla matrice di covarianza che lo facesse corrispondere alla distribuzione sotto il nulla. Il punto di @ cardinal sull'esistenza di tale matrice è tuttavia molto rilevante qui. Devi essere in grado di trovare almeno una sorta di approssimazione per una matrice che soddisfi i vincoli che imponi sotto il null.

Chen, Variyath e Bovas avevano un articolo sulla probabilità empirica corretta in cui hanno dimostrato come può essere usato per testare una struttura piuttosto strana sulla matrice di covarianza. Penso che questo documento alla fine sia uscito in CJS.

— Stask
fonte

Non sono sicuro di poterli facilmente tradurre in una soluzione al mio problema, ma sono entrambi letture affascinanti. +1.

— Shabbychef,