Qual è l'aspettativa di una variabile casuale divisa per una media ?


9

Consenti a essere IID e . Sembra ovvio, ma sto avendo problemi a derivarlo formalmente.ˉ X = n i = 1 X i E [ X iXiX¯=i=1nXi

E[XiX¯]= ?

Risposte:


13

Consenti a essere variabili casuali indipendenti e distribuite in modo identico e definireX1,,Xn

X¯=X1+X2+Xnn.

Supponiamo che . Poiché gli sono distribuiti in modo identico, la simmetria ci dice che, per , le variabili casuali (dipendenti) hanno la stessa distribuzione: Se le aspettative esistono (questo è un punto cruciale), allora e, per , abbiamo Pr{X¯0}=1Xii=1,nXi/X¯

X1X¯X2X¯XnX¯.
E[Xi/X¯]
E[X1X¯]=E[X2X¯]==E[XnX¯],
i=1,,n
E[XiX¯]=1n(E[X1X¯]+E[X2X¯]++E[XnX¯])=1nE[X1X¯+X2X¯++XnX¯]=1nE[X1+X2++XnX¯]=1nE[nX¯X¯]=nnE[X¯X¯]=1.

Vediamo se possiamo verificarlo con un semplice Monte Carlo.

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

Bene, e i risultati non cambiano molto sotto ripetizione.


3
(+1) La conclusione che non esiste è vera, ma richiede un argomento più sottile rispetto a quelli a cui hai ancora collegato, perché e non sono indipendenti. X i ˉ XE[Xi/X¯]XiX¯
whuber

2
@whuber: Puoi espanderlo un po ', Bill? Ho citato la dipendenza di e in uno dei commenti alla domanda collegata. Inoltre, la risposta di Xi'an affronta il caso con una semplice trasformazione. Ha anche dato la distribuzione di in uno dei suoi commenti. Grazie per il tuo pensiero al riguardo. ˉ X n = 2 X i / ˉ XXiX¯n=2Xi/X¯
Zen,

3
@whuber: Penso che la mia spiegazione funzioni da che è , essendo un Cauchy standard. Nessuna dipendenza coinvolta. n / { 1 + ( n - 1 ) Z } Z
Xi/X¯=n/{1+X2/X1++Xn/X1}
n/{1+(n1)Z}Z
Xi'an,

3
@ Xi'an: hai usato qui (considera il caso ), poiché e sono standard Cauchy, quindi è anche standard Cauchy? Ma questo non è vero perché e non sono indipendenti, giusto? U = X 2 / X 1 V = X 3 / X 1 ( U + V ) / 2 U Vn=3U=X2/X1V=X3/X1(U+V)/2UV
Zen,

2
@Zen: Tuttavia, e sono variate normali indipendenti, quindi è un Cauchy, se con una scala anziché . X 1 ( X 2 + + X n ) / X 1 (X2++Xn)X1(X2++Xn)/X1 n-1n1n1
Xi'an,
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.