Qual è la probabilità che questa persona sia femmina?

C'è una persona dietro una tenda - non so se la persona sia femmina o maschio.

So che la persona ha i capelli lunghi e che il 90% di tutte le persone con i capelli lunghi sono donne

So che la persona ha un raro gruppo sanguigno AX3 e che l'80% di tutte le persone con questo gruppo sanguigno sono donne.

Qual è la probabilità che la persona sia femmina?

NOTA: questa formulazione originale è stata ampliata con due ulteriori ipotesi: 1. Il gruppo sanguigno e la lunghezza dei capelli sono indipendenti 2. Il rapporto tra maschi e femmine nella popolazione in generale è 50:50

(Lo scenario specifico qui non è così rilevante - piuttosto, ho un progetto urgente che richiede di avere la mia mente intorno all'approccio corretto per rispondere a questo. La mia sensazione è che si tratti di una semplice probabilità, con una semplice risposta definitiva, piuttosto di qualcosa con più risposte discutibili secondo diverse teorie statistiche.)

Molte persone trovano utile pensare in termini di "popolazione", sottogruppi al suo interno e proporzioni (piuttosto che probabilità). Questo si presta al ragionamento visivo.

Spiegherò le cifre in dettaglio, ma l'intenzione è che un rapido confronto tra le due figure dovrebbe indicare immediatamente e in modo convincente come e perché non è possibile dare una risposta specifica alla domanda. Un esame leggermente più lungo suggerirà quali informazioni aggiuntive sarebbero utili per determinare una risposta o almeno ottenere limiti sulle risposte.

Leggenda

Tratteggio incrociato : femmina / Sfondo solido : maschio.

In alto : pelo lungo / In basso : pelo corto.

Destra (e colorata) : AX3 / Sinistra (non colorata ) : non AX3.

Dati

Il tratteggio superiore è il 90% del rettangolo superiore ("Il 90% di tutte le persone con i capelli lunghi sono donne").

Il tratteggio totale nel rettangolo colorato a destra è l'80% di quel rettangolo ("L'80% di tutte le persone con questo gruppo sanguigno sono donne.")

Spiegazione

Questo diagramma mostra schematicamente come la popolazione (di tutte le femmine e non femmine in esame) possa essere suddivisa simultaneamente in femmine / non femmine, AX3 / non-AX3 e capelli lunghi / non lunghi ("corti"). Usa l'area, almeno approssimativamente, per rappresentare le proporzioni (c'è qualche esagerazione per rendere l'immagine più chiara).

È evidente che queste tre classificazioni binarie creano otto possibili gruppi. Ogni gruppo appare qui.

Le informazioni fornite indicano che il rettangolo superiore tratteggiato (femmine dai capelli lunghi) comprende il 90% del rettangolo superiore (tutte le persone dai capelli lunghi). Indica inoltre che le parti tratteggiate incrociate dei rettangoli colorati (femmine a pelo lungo con AX3 e femmine a pelo corto con AX3) comprendono l'80% della regione colorata a destra (tutte le persone con AX3). Ci viene detto che qualcuno si trova nell'angolo in alto a destra (freccia): persone dai capelli lunghi con AX3. Quale proporzione di questo rettangolo è tratteggiata (femmina)?

Ho anche (implicitamente) ipotizzato che il gruppo sanguigno e la lunghezza dei capelli siano indipendenti : la proporzione del rettangolo superiore (capelli lunghi) che è colorata (AX3) è uguale alla proporzione del rettangolo inferiore (capelli corti) che è colorata (AX3). Questo è ciò che significa indipendenza. È un'ipotesi equa e naturale da fare quando si affrontano domande come questa, ma ovviamente deve essere dichiarato.

La posizione del rettangolo tratteggiato superiore (femmine dai capelli lunghi) non è nota. Possiamo immaginare di far scorrere lateralmente il rettangolo tratteggiato in alto e di scorrere lateralmente il rettangolo tratteggiato in croce e di modificarne eventualmente la larghezza. Se lo facciamo in modo tale che l'80% del rettangolo colorato rimanga tratteggiato, una tale alterazione cambierà nessuna delle informazioni dichiarate, ma può alterare la proporzione di femmine nel rettangolo in alto a destra. Evidentemente la proporzione potrebbe essere compresa tra lo 0% e il 100% e comunque essere coerente con le informazioni fornite, come in questa immagine:

---

Un punto di forza di questo metodo è che stabilisce l'esistenza di risposte multiple alla domanda. Si potrebbe tradurre tutto questo algebricamente e, mediante la stipulazione delle probabilità, offrire situazioni specifiche come possibili esempi, ma allora sorgerebbe la domanda se tali esempi siano realmente coerenti con i dati. Ad esempio, se qualcuno dovesse suggerire che forse il 50% delle persone con i capelli lunghi è AX3, all'inizio non è evidente che ciò sia persino possibile date tutte le informazioni disponibili. Questi diagrammi (di Venn) della popolazione e dei suoi sottogruppi chiariscono queste cose.

Questa è una questione di probabilità condizionata. Sai che la persona ha i capelli lunghi e il gruppo sanguigno Ax3. Lascia A = { 'La persona ha i capelli lunghi' } Quindi cerchi P ( C | A e B ) . Sai che P ( C | A ) = 0.9 e P ( C | B ) = 0.8 . È abbastanza per calcolare P ( C | A e B ) ? Supponiamo che P ( A e B e C ) =

$$\ \ \ \ \ A =\{\text{'The person has long hair'}\}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \{\text{'The person has blood type Ax3'}\} \\ C =\{\text{'The person is female'}\}.$$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$
$P(C|A\ \text{and}\ B)$$P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)=0.7$. Quindi Supponiamo che P ( A e B ) = 0,8 . Quindi, con quanto sopra, P ( C | A e B ) = $$P(C|A\ \text{and}\ B)=P(A\ \text{and}\ B\ \text{and}\ C)/ P(A\ \text{and}\ B)=0.7/P(A\ \text{and}\ B).$$ $P(A\ \text{and}\ B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)=0.875$. D'altra parte se avremmo quindi P ( C | A e B ) = 0,78.$P(A\ \text{and}\ B)=0.9$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

Ora entrambi sono possibili quando e P ( C | B ) = 0.8 . Quindi non possiamo dire con certezza cosa sia P ( C | A e B ) .$P(C|A)=0.9$$P(C|B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

Discussione affascinante! Mi chiedo se abbiamo specificato anche P (A) e P (B) se gli intervalli di P (C | A, B) non saranno molto più ristretti dell'intero intervallo [0,1], semplicemente a causa dei numerosi vincoli noi abbiamo.

Attenendosi alla notazione introdotta sopra:

A = l'evento in cui la persona ha i capelli lunghi

B = l'evento in cui la persona ha il gruppo sanguigno AX3

C = l'evento che quella persona è femmina

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0,8

P (C) = 0,5 (ovvero ipotizziamo un uguale rapporto tra uomini e donne nella popolazione in generale)

non sembra possibile supporre che gli eventi A e B siano condizionatamente indipendenti, dato C! Ciò porta direttamente a una contraddizione: se $P(A \wedge B | C) = P(A| C) \cdot P(B| C) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)}$

poi

$P(C| A \wedge B ) = P(A \wedge B | C) \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)} \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right)$

Se ora assumiamo che anche A e B siano indipendenti: maggior parte dei termini si annulla e si finisce con$P(A \wedge B) = P(A) P(B)$

$P(C| A \wedge B ) = \frac{P(C| A) \cdot P(C| B)}{P(C)} = \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.5} > 1$

$P(C | A \wedge B)$$[0,1]$$P(A)$$P(B)$$P(A)$$P(B)$

$P(C | A \wedge B)$

$P(C|A)=0.9$

$P(C)=0.5$

$P(C|B)=0.8$

4. (banale) Il rettangolo superiore non può essere spostato oltre il limite sinistro e non deve essere spostato oltre la minima sovrapposizione a sinistra.

5. (banale) Il rettangolo inferiore non può essere spostato oltre il limite destro e non deve essere spostato oltre la sua massima sovrapposizione verso destra.

$P(C | A \wedge B)$ . La figura seguente (creata con questo script R ) mostra due esempi

L'esecuzione di un intervallo di valori possibili per P (A) e P (B) ( script R ) genera questo grafico

In conclusione, possiamo abbassare il limite della probabilità condizionale P (c | A, B) per P (A), P (B) dato

Fare le ipotesi è che la persona dietro una tenda sia una donna.

Abbiamo fornito 2 prove, vale a dire:

Prova 1: sappiamo che la persona ha i capelli lunghi (e ci viene detto che il 90% di tutte le persone con i capelli lunghi sono donne)

Prova 2: sappiamo che la persona ha un raro gruppo sanguigno AX3 (e ci viene detto che l'80% di tutte le persone con questo gruppo sanguigno sono donne)

Dato solo l'Evidenza 1, possiamo affermare che la persona dietro una tenda ha un valore di probabilità di 0,9 di essere una donna (supponendo che 50:50 siano divisi tra uomini e donne).

Per quanto riguarda la domanda posta precedentemente nel thread, vale a dire "Concorderesti che la risposta deve essere MAGGIORE di 0.9?", Senza fare matematica, direi intuitivamente, la risposta deve essere "sì" (è MAGGIORE di 0.9). La logica è che Evidence 2 sta supportando l'evidenza (di nuovo, ipotizzando una divisione 50:50 per il numero di uomini e donne nel mondo). Se ci venisse detto che il 50% di tutte le persone con sangue di tipo AX3 era di sesso femminile, Evidence 2 sarebbe neutro e privo di cuscinetto. Ma poiché ci viene detto che l'80% di tutte le persone con questo gruppo sanguigno sono donne, Evidence 2 supporta prove e logicamente dovrebbe spingere la probabilità finale di una donna sopra lo 0,9.

Per calcolare una probabilità specifica, possiamo applicare la regola di Bayes per Evidence 1 e quindi utilizzare l'aggiornamento bayesiano per applicare Evidence 2 alla nuova ipotesi.

Supponiamo che:

A = l'evento in cui la persona ha i capelli lunghi

B = l'evento in cui la persona ha il gruppo sanguigno AX3

C = l'evento in cui una persona è femmina (ipotizza il 50%)

Applicazione della regola di Bayes all'evidenza 1:

P (C | A) = (P (A | C) * P (C)) / P (A)

In questo caso, sempre se assumiamo una divisione 50:50 tra uomini e donne:

P (A) = (0,5 * 0,9) + (0,5 * 0,1) = 0,5

Quindi, P (C | A) = (0.9 * 0.5) / 0.5 = 0.9 (Non sorprende, ma sarebbe diverso se non avessimo una divisione 50:50 tra uomini e donne)

Usando l'aggiornamento bayesiano per applicare Evidence 2 e inserendo 0.9 come nuova probabilità precedente, abbiamo:

P (C | A AND B) = (P (B | C) * 0.9) / P (E)

Qui, P (E) è la probabilità di Evidenza 2, date le ipotesi che la persona abbia già una probabilità del 90% di essere femmina.

P (E) = (0.9 * 0.8) + (0.1 * 0.2) [questa è la legge della probabilità totale: (P (donna) * P (AX3 | donna) + P (uomo) * P (AX3 | uomo)] Quindi , P (E) = 0,74

Quindi, P (C | A AND B) = (0,8 * 0,9) / 0,74 = 0,97297

Riedizione e generalizzazione delle domande

$A$, $B$, e $C$ sono sconosciuti binari i cui possibili valori sono $0$ e $1$. Permettere$Z_i$ rappresentano la proposizione "Il valore di $Z$ è $i$". Let anche $(X | Y)$ sta per "La probabilità che $X$, dato che $Y$". Cosa è $(A_a | B_b C_c I)$, dato che

1. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ e $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$
2. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ e $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ e $(B C | I) = (B | I)(C | I)$
3. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ e $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ e $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$
4. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$ e $(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$ e $(A_0 | I) = \frac{1}{2}$ e $(B C | I) = (B | I)(C | I)$

e quello $I$non contiene informazioni rilevanti oltre a ciò che è implicito negli incarichi? L'ultima congiunzione delle condizioni 2 e 4 è una scorciatoia per la dichiarazione di indipendenza

$$(B_j C_k | I) = (B_j | I)(C_k | I) \quad , \quad j = 0, 1 \quad k = 0,1$$ Tratta ciascuno dei quattro casi a turno.

risposte

Caso 1

Dobbiamo specificare la distribuzione $(ABC | I)$. Il problema è indefinito, perché$(ABC | I)$ richiede otto numeri, ma abbiamo solo tre equazioni: le due condizioni indicate e la condizione di normalizzazione.

È stato dimostrato da vari mezzi esoterici che la distribuzione da assegnare quando le informazioni non determinano altrimenti una soluzione è quella che, tra tutte le distribuzioni coerenti con le informazioni note, ha la più grande entropia. Qualsiasi altra distribuzione implica che sappiamo più delle informazioni conosciute, il che ovviamente è una contraddizione.

Tutto ciò che dobbiamo fare, quindi, è assegnare la massima distribuzione di entropia. Questo è più facile a dirsi che a farsi, e non ho trovato una soluzione generale a forma chiusa. Ma soluzioni particolari possono essere trovate usando un ottimizzatore numerico. Massimizziamo

$$- \sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) \ln (A_i B_j C_k | I)$$ soggetto ai vincoli $$\sum_{i,j,k} (A_i B_j C_k | I) = 1$$ e $$(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_k (A_{a_1} B_{b_1} C_k | I )}{\sum\limits_{i,k} (A_i B_{b_1} C_k | I)} = u_1$$ e $$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2 \quad\quad \text{i.e.} \quad \frac{\sum\limits_j (A_{a_2} B_j C_{c_2} | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_{c_2} | I)} = u_2$$ Ora applichiamo questo alla domanda. Se abbiamo

1. "La persona è femmina" $\longleftrightarrow A_1$
2. "La persona ha i capelli lunghi" $\longleftrightarrow B_1$
3. "La persona ha il gruppo sanguigno AX3" $\longleftrightarrow C_1$

poi $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, $a_1 = 1$, $b_1 = 1$, $a_2 = 1$, $c_2 = 1$, $u_1 = 0.9$, $u_2 = 0.8$e scopriamo che per la massima soluzione entropica, $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.932$. Pertanto la probabilità che la persona dietro la tenda sia femmina, dato che ha i capelli lunghi e il gruppo sanguigno AX3, è 0,932.

Caso 2

Ora ripetiamo l'esercizio con l'ulteriore vincolo che per una determinata persona, conoscendo il valore di $B$ (lo stato dei capelli) non influisce sulla nostra stima del valore di $C$(lo stato del gruppo sanguigno) e viceversa. Tutto è uguale al caso 1, tranne che ci sono due vincoli extra nell'ottimizzazione, vale a dire:

$$\begin{align*} (B_0 | C_l I) &= (B_0 | I) \quad , \quad l = 0, 1 \\ \end{align*}$$ vale a dire $$\begin{align*} \frac{\sum\limits_i (A_i B_0 C_l | I)}{\sum\limits_{i,j} (A_i B_j C_l | I)} &= \sum_{i,k} (A_i B_0 C_k | I) \quad , \quad l = 0, 1 \end{align*}$$ Questo da $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.936$, quindi la probabilità che la persona dietro la tenda sia femmina, dato che ha i capelli lunghi e il gruppo sanguigno AX3, è 0.936.

Caso 3

Ora rimuoviamo la condizione di indipendenza e la sostituiamo con la condizione precedente che vi siano pari possibilità che una determinata persona sia maschio o femmina:

$$(A_0 | I) = \frac{1}{2} \quad \quad \text{i.e.} \quad \sum_{j,k} (A_0 B_j C_k | I) = \frac{1}{2}$$ Questa volta $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.973$, quindi la probabilità che la persona dietro la tenda sia femmina, dato che ha i capelli lunghi e il gruppo sanguigno AX3, è 0.973.

Caso 4

Infine, reintroduciamo i vincoli di indipendenza del Caso 2 e scopriamo che $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.989$. Pertanto la probabilità che la persona dietro la tenda sia femmina, dato che ha i capelli lunghi e il gruppo sanguigno AX3, è 0,989.

Credo ora che, se assumiamo un rapporto di uomini e donne nella popolazione in generale, allora c'è un'unica risposta indiscutibile.

A = l'evento in cui la persona ha i capelli lunghi

B = l'evento in cui la persona ha il gruppo sanguigno AX3

C = l'evento che quella persona è femmina

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0,8

P (C) = 0,5 (ovvero ipotizziamo un uguale rapporto tra uomini e donne nella popolazione in generale)

Quindi P (C | A e B) = [P (C | A) x P (C | B) / P (C)] / [[P (C | A) x P (C | B) / P (C )] + [[1-P (C | A)] x [1-P (C | B)] / [1-P (C)]]]

in questo caso, P (C | A e B) = 0.972973

Nota: per ottenere una risposta definitiva, le risposte seguenti presuppongono che la probabilità che una persona, un uomo con i capelli lunghi e una donna con i capelli lunghi abbia AX3 è approssimativamente la stessa. Se si desidera una maggiore precisione, è necessario verificarlo.

Inizi con la consapevolezza che la persona ha i capelli lunghi, quindi a questo punto le probabilità sono:

90:10

Nota: il rapporto tra maschi e femmine nella popolazione generale non ci interessa quando scopriamo che la persona ha i capelli lunghi. Ad esempio, se ci fosse 1 femmina su cento nella popolazione generale, una persona con i capelli lunghi selezionata casualmente sarebbe comunque una femmina il 90% delle volte. Il rapporto tra femmine e maschi è importante! (vedi l'aggiornamento sotto per i dettagli)

Successivamente, apprendiamo che la persona ha AX3. Poiché AX3 non è correlato ai capelli lunghi, il rapporto tra uomini e donne è noto per essere 50:50 e, dato che la nostra ipotesi è che le stesse siano le stesse, possiamo semplicemente moltiplicare ogni lato della probabilità e normalizzare in modo che la somma di i lati della probabilità equivalgono a 100:

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

Pertanto, la probabilità che la persona dietro la tenda sia femmina è di circa il 97,297%.

AGGIORNARE

Ecco un'ulteriore esplorazione del problema:

definizioni:

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

Innanzitutto, ci viene dato che il 90% delle persone con i capelli lunghi sono donne e l'80% delle persone con AX3 sono donne, quindi:

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

Poiché abbiamo ipotizzato che la probabilità di AX3 sia indipendente dal genere e dai capelli lunghi, il nostro pfx calcolato si applicherà alle donne con i capelli lunghi e pmx si applicherà agli uomini con i capelli lunghi per trovare il numero di quelli che probabilmente hanno AX3:

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

Pertanto, il probabile rapporto tra il numero di femmine a pelo lungo e AX3 e il numero di maschi a pelo lungo e AX3 è:

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

Dato che c'è un numero uguale di 50:50, puoi cancellare entrambe le parti e terminare con 36 femmine per ogni maschio. Altrimenti, ci sono 36 * m / f femmine per ogni maschio nel sottogruppo specificato. Ad esempio, se ci fossero il doppio delle donne rispetto agli uomini, ci sarebbero 72 femmine per ogni maschio di quelle che hanno i capelli lunghi e AX3.

98% femmina, interpolazione semplice. La prima premessa 90% femminile, lascia il 10%, la seconda premessa lascia solo il 2% del 10% esistente, quindi il 98% femminile