Prove a livello universitario del teorema di Pitman – Koopman

Il teorema di Pitman – Koopman – Darmois afferma che se un campione iid da una famiglia parametrizzata di distribuzioni di probabilità ammette una statistica sufficiente il cui numero di componenti scalari non cresce con la dimensione del campione, allora è una famiglia esponenziale.

Esistono libri di testo o documenti di esposizione elementari che forniscono prove?
Perché prende il nome da quelle tre persone?

mathematical-statistics references

— Michael Hardy
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Il motivo per cui il Lemma si chiama Pitman-Koopman-Darmois è, ovviamente, che i tre autori hanno creato versioni simili del lemma, indipendentemente all'incirca nello stesso momento:

Darmois, G. (1935) Sur lois de probabilité à stimation complete, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
Koopman, BO (1936) Sulle distribuzioni che ammettono una statistica sufficiente, Transactions of the American Mathematical Society , Vol. 39, n. 3. [collegamento]
Pitman, EJG (1936) Statistiche sufficienti e precisione intrinseca, Atti della Cambridge Philosophical Society , 32, 567-579.

a seguito di un risultato monodimensionale in

Fisher, RA (1934) Due nuove proprietà della probabilità matematica, Atti della Royal Society , Serie A, 144, 285-307.

Non conosco una prova non tecnica di questo risultato. Una prova che non coinvolge argomenti complessi è quella di Don Fraser (p.13-16), basata sull'argomento secondo cui la funzione di probabilità è una statistica sufficiente, con valore funzionale. Ma trovo discutibile l'argomento perché le statistiche sono vettori reali che sono funzioni del campione , non funzionali (trasformazioni con valori di funzione). Cambiando la natura della statistica, Don Fraser cambia la definizione di sufficienza e quindi il significato del lemma di Darmois-Koopman-Pitman. $x$

— Xi'an
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+1. Nitpick sul documento Koopman collegato nel paragrafo seguente l'Eq. (6) dimostrando il giacobino che sta scomparendo ovunque: il quartiere di non dovrebbe essere scelto arbitrariamente solo in modo che il giacobino sia diverso da zero. Deve essere discusso localmente per ogni punto piuttosto che localmente. L'esistenza (definita) del differenziale diverso da zero in quel punto garantisce l'esistenza di una vicinanza abbastanza piccola di quel punto in modo tale che il lato sinistro dell'Eq. (5) in quel quartiere diverso da quel punto è sempre distinto da quello a quel punto.

(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0})

$(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$

— Hans,

Non è vero che un Jacobiano diverso da zero porta a valori univoci globali in un dominio (molteplice) come è implicito nel documento. È vero solo localmente. Anche la dimensionalità è preservata non dall'omeomorfismo come è affermato nell'ultima frase di quel paragrafo, ma piuttosto dal diffeomorfismo locale, che è il caso qui.

— Hans,

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