Vedo spesso il termine rumore bianco che appare quando leggo su diversi modelli statistici. Devo tuttavia ammettere che non sono completamente sicuro di cosa significhi. Di solito è abbreviato come $WN(0,σ^2)$ . Significa che è normalmente distribuito o potrebbe seguire qualsiasi distribuzione?

normal-distribution white-noise

— user13514
fonte

en.wikipedia.org/wiki/White_noise

— whuber

Questo dipende dalla disciplina. Nell'elaborazione del segnale, il rumore bianco non deve essere normale. Tuttavia, nell'analisi delle serie temporali, un "processo di rumore bianco" (spesso chiamato semplicemente rumore bianco) viene normalmente distribuito.

— JDL,

@JDL è perché nell'elaborazione del segnale si presume che il rumore sia gaussiano?

— Aksakal,

@JDL, sei sicuro? Potresti fornire riferimenti da almeno due o tre libri di testo di serie storiche (come Hamilton "Time Series Analysis" e uno o due più)?

— Richard Hardy,

TL; DR

La risposta è NO, non deve essere normale; SÌ, possono essere altre distribuzioni.

Colori del rumore

Parliamo dei colori del rumore.

Il rumore prodotto da un bambino durante il viaggio aereo non è bianco. Ha colore.
Anche il rumore prodotto dal motore di un aeroplano non è bianco, ma non è colorato come il rumore del bambino. È più bianco.
Il rumore prodotto da un oceano o da una foresta è quasi bianco.

Se si utilizzano le cuffie con cancellazione del rumore, si sa che il numero 1 è impossibile da annullare. Attraverserà facilmente qualsiasi cuffia. # 2 verrà cancellato molto bene.

Per quanto riguarda il n. 3, perché dovresti cancellarlo?

Origine di un termine "colore"

Qual è la distinzione tra questi tre rumori? Viene dall'analisi spettrale . Come sapete dagli anni del liceo, è possibile inviare la luce bianca attraverso un prisma e dividerà la luce in tutti i diversi colori. Questo è ciò che chiamiamo bianco: tutti i colori sono approssimativamente nella stessa proporzione. Nessun colore domina.

l'immagine è tratta da https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

Il colore è la luce di una certa frequenza, o potresti dire onde elettromagnetiche di una certa lunghezza d'onda come mostrato di seguito. Il colore rosso ha una bassa frequenza rispetto al blu, equivalentemente il colore rosso ha una lunghezza d'onda più lunga di quasi 800 nm rispetto alla lunghezza d'onda blu di 450 nm.

l'immagine è da qui: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Analisi spettrale

Se si prende rumore, sia acustico, radio o altro, e lo si invia tramite lo strumento di analisi spettrale come FFT, si ottiene la decomposizione spettrale. Vedrai quanta frequenza c'è nel rumore, come mostrato nella prossima immagine da Wikipedia. È chiaro che questo non è rumore bianco: ha picchi chiari a 50Hz, 40Hz ecc.

Se una banda di frequenza stretta fuoriesce, viene chiamata colorata, come non bianca . Quindi, il rumore bianco è proprio come la luce bianca, ha una vasta gamma di frequenze approssimativamente nella stessa proporzione come mostrato nella figura successiva da questo sito . Il grafico superiore mostra la registrazione dell'ampiezza e il fondo mostra la decomposizione spettrale. Nessuna frequenza sporge. Quindi il rumore è bianco.

Seno perfetto

Ora, perché la sequenza di numeri casuali distribuiti in modo identico indipendente (iid) genera il rumore bianco? Pensiamo a cosa rende colorato un segnale. Sono le onde di una certa frequenza che sporge dagli altri. Dominano lo spettro. Considera un'onda di segno perfetta: . Vediamo qual è la covarianza tra due punti qualsiasi secondi di distanza: $\sin(2\pi t)$ $\phi=1/2$

E [peccato (2 π t) \times peccato (2 π (t + 1 / 2)] = - E [{peccato}^{2} (2 π t)] = - \frac{1}{2}

$E[\sin(2\pi t) \times \sin(2\pi (t+1/2)]=-E[\sin^2 (2\pi t)]=-\frac 1 2$

Quindi, in presenza dell'onda sinusoidale, otterremo autocorrelazione nelle serie temporali: tutte le oservazioni distanti mezzo secondo saranno perfettamente correlate negativamente! Ora, dire che i nostri dati sono iid implica che non esiste alcuna autocorrelazione di sorta. Ciò significa che non ci sono onde nel segnale. Lo spettro del rumore è piatto.

Esempio imperfetto

Ecco un esempio che ho creato sul mio computer. Prima ho registrato il diapason , quindi ho registrato il rumore dei fan del computer. Quindi ho eseguito il seguente codice MATLAB per analizzare gli spettri:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Ecco il segnale e lo spettro del diapason. Come previsto ha un picco a circa 440Hz. Il diapason deve produrre un segnale sinusoidale quasi ideale, come nel mio esempio teorico precedente.

Successivamente ho fatto lo stesso per il rumore. Come previsto, nessuna frequenza sporge. Ovviamente questo non è il rumore bianco, ma ci si avvicina abbastanza. Penso che ci debba essere una frequenza di tono molto alta, mi disturba un po '. Devo cambiare presto la ventola. Tuttavia, non lo vedo nello spettro. Forse perché il mio microfono è oltre scadente, o la frequenza di campionamento non è abbastanza alta.

La distribuzione non ha importanza

La parte importante è che nella sequenza casuale i numeri non sono autocorrelati (o addirittura più forti, indipendenti). L'esatta distribuzione non è importante. Potrebbe essere gaussiano o gamma, ma finché i numeri non sono correlati nella sequenza il rumore sarà bianco.

— Aksakal
fonte

Anche se in realtà non hai risposto alla domanda, la tua descrizione è così ben fatta che non ho potuto fare a meno di votare il post comunque :-).

— whuber

I colori del rumore sono estremamente interessanti. Il mio preferito è il rosa (1 / f) che si avvicina a fenomeni naturali "gradevoli" come la musica

— HEITZ

Sì, Pink ha della musica piacevole;)

— Mottie,

"Se usi le cuffie con cancellazione del rumore, sai che [un bambino che piange] è impossibile da cancellare. Ti farà passare facilmente qualsiasi cuffia." Penso che questa sia una proprietà della percezione umana piuttosto che una proprietà intrinseca del suono. Un bambino che piange è il rumore più distratto possibile, per ovvie ragioni. theguardian.com/science/2012/oct/17/crying-babies-hard-ignore

— DrMcCleod

Sei sicuro che il rumore degli oceani e delle foreste sia bianco? Avrei pensato che fosse rosa o rosso.

— pipe il

Il rumore bianco significa semplicemente che la sequenza dei campioni non è correlata con zero media e varianza finita. Non ci sono restrizioni sulla distribuzione da cui i campioni sono estratti. Ora, se i campioni provengono da una distribuzione normale, si ha un tipo speciale di rumore bianco chiamato rumore bianco gaussiano.

— Moss Murderer
fonte

I numeri casuali IID genereranno rumore bianco, ma il rumore bianco non richiede iid

— Aksakal,

Non credo di aver implicato i campioni. Ma hai ragione nel senso che la mia affermazione ha imposto condizioni più forti del necessario - avrei dovuto dire una varianza non correlata e finita invece di una varianza indipendente e fissa.

— Moss Murderer,

@Richard Hardy: Sì, l'ho appena fatto.