Una situazione estremamente comune nella computer grafica è che il colore di alcuni pixel è uguale all'integrale di alcune funzioni con valori reali. Spesso la funzione è troppo complicata per essere risolta analiticamente, quindi ci rimane un'approssimazione numerica. Ma la funzione è spesso molto costosa da calcolare, quindi siamo fortemente vincolati dal numero di campioni che possiamo calcolare. (Ad esempio, non puoi semplicemente decidere di prelevare un milione di campioni e lasciarlo a questo.)
In generale, quindi, ciò che si desidera fare è valutare la funzione in punti scelti casualmente fino a quando l'integrale stimato non diventa "abbastanza preciso". Il che mi porta alla mia vera domanda: come stimate la "precisione" dell'integrale?
Più specificamente, abbiamo , che è implementato da un algoritmo informatico lento e complicato. Vogliamo stimare
Possiamo calcolare per qualsiasi x che desideriamo, ma è costoso. Quindi vogliamo scegliere diversi valori x in modo casuale e fermarci quando la stima per k diventa accettabilmente accurata. Per fare questo, ovviamente, dobbiamo sapere quanto sia precisa la stima attuale.
Non sono nemmeno sicuro di quali strumenti statistici sarebbero appropriati per questo tipo di problema. Ma mi sembra che se non sappiamo assolutamente nulla di , allora il problema è irrisolvibile. Ad esempio, se si calcola f ( x ) mille volte ed è sempre zero, l'integrale stimato sarebbe zero. Ma, non sapendo nulla di f , è ancora possibile che f ( x ) = 1 , 000 , 000 ovunque tranne i punti che ti è capitato di campionare, quindi la tua stima è terribilmente sbagliata!
Forse, quindi, la mia domanda avrebbe dovuto iniziare con "cosa dobbiamo sapere su per consentire di stimare l'accuratezza del nostro integrale ?" Ad esempio, spesso sappiamo che è impossibile che sia mai negativo, il che sembrerebbe un fatto estremamente rilevante ...
Modifica: OK, quindi questo sembra aver generato molte risposte, il che è positivo. Piuttosto che rispondere a ciascuno di essi individualmente, cercherò di riempire qui qualche ulteriore sfondo.
Quando dico che non sappiamo "nulla" di , intendo dire che possiamo calcolare f , ma non ne sappiamo più nulla. Mi aspetto (e i commenti sembrano concordare) che avere più conoscenze ci consenta di utilizzare algoritmi migliori. Sembra che sarebbe utile conoscere i limiti di f e / o la prima derivata di f .
Nella maggior parte dei problemi a cui sto pensando, cambia in base alla geometria della scena e alla posizione all'interno della scena in esame. Non è un pezzo di algebra bello e ordinato che puoi risolvere analiticamente. Tipicamente f rappresenta l'intensità della luce. Ovviamente l'intensità della luce non può mai essere negativa, ma non c'è limite a quanto possono essere grandi i suoi valori positivi. Infine, i bordi degli oggetti di solito comportano discontinuità nette in f , e di solito non è possibile prevedere dove si trovano.
In breve, è dannatamente complicato, quindi il mio primo approdo è stato quello di chiederci cosa possiamo fare con esso senza ulteriori informazioni. Sembra che senza almeno alcuni limiti superiore e inferiore, la risposta sia "non un inferno di molto" ... Quindi sembra che io debba iniziare a inventare alcune ipotesi per fare qualche passo qui.
Inoltre, dato il numero di volte in cui "Monte Carlo" è emerso, immagino che sia il termine tecnico per questo tipo di integrazione?