Come stimare l'accuratezza di un integrale?

Una situazione estremamente comune nella computer grafica è che il colore di alcuni pixel è uguale all'integrale di alcune funzioni con valori reali. Spesso la funzione è troppo complicata per essere risolta analiticamente, quindi ci rimane un'approssimazione numerica. Ma la funzione è spesso molto costosa da calcolare, quindi siamo fortemente vincolati dal numero di campioni che possiamo calcolare. (Ad esempio, non puoi semplicemente decidere di prelevare un milione di campioni e lasciarlo a questo.)

In generale, quindi, ciò che si desidera fare è valutare la funzione in punti scelti casualmente fino a quando l'integrale stimato non diventa "abbastanza preciso". Il che mi porta alla mia vera domanda: come stimate la "precisione" dell'integrale?

Più specificamente, abbiamo , che è implementato da un algoritmo informatico lento e complicato. Vogliamo stimare$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Possiamo calcolare per qualsiasi x che desideriamo, ma è costoso. Quindi vogliamo scegliere diversi valori x in modo casuale e fermarci quando la stima per k diventa accettabilmente accurata. Per fare questo, ovviamente, dobbiamo sapere quanto sia precisa la stima attuale.$f(x)$$x$$x$$k$

Non sono nemmeno sicuro di quali strumenti statistici sarebbero appropriati per questo tipo di problema. Ma mi sembra che se non sappiamo assolutamente nulla di , allora il problema è irrisolvibile. Ad esempio, se si calcola f ( x ) mille volte ed è sempre zero, l'integrale stimato sarebbe zero. Ma, non sapendo nulla di f , è ancora possibile che f ( x ) = 1 , 000 , 000 ovunque tranne i punti che ti è capitato di campionare, quindi la tua stima è terribilmente sbagliata!$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Forse, quindi, la mia domanda avrebbe dovuto iniziare con "cosa dobbiamo sapere su per consentire di stimare l'accuratezza del nostro integrale$f$ ?" Ad esempio, spesso sappiamo che è impossibile che sia mai negativo, il che sembrerebbe un fatto estremamente rilevante ...$f$

Modifica: OK, quindi questo sembra aver generato molte risposte, il che è positivo. Piuttosto che rispondere a ciascuno di essi individualmente, cercherò di riempire qui qualche ulteriore sfondo.

Quando dico che non sappiamo "nulla" di , intendo dire che possiamo calcolare f , ma non ne sappiamo più nulla. Mi aspetto (e i commenti sembrano concordare) che avere più conoscenze ci consenta di utilizzare algoritmi migliori. Sembra che sarebbe utile conoscere i limiti di f e / o la prima derivata di f .$f$$f$$f$$f$

Nella maggior parte dei problemi a cui sto pensando, cambia in base alla geometria della scena e alla posizione all'interno della scena in esame. Non è un pezzo di algebra bello e ordinato che puoi risolvere analiticamente. Tipicamente f rappresenta l'intensità della luce. Ovviamente l'intensità della luce non può mai essere negativa, ma non c'è limite a quanto possono essere grandi i suoi valori positivi. Infine, i bordi degli oggetti di solito comportano discontinuità nette in f , e di solito non è possibile prevedere dove si trovano.$f$$f$$f$

In breve, è dannatamente complicato, quindi il mio primo approdo è stato quello di chiederci cosa possiamo fare con esso senza ulteriori informazioni. Sembra che senza almeno alcuni limiti superiore e inferiore, la risposta sia "non un inferno di molto" ... Quindi sembra che io debba iniziare a inventare alcune ipotesi per fare qualche passo qui.$f$

Inoltre, dato il numero di volte in cui "Monte Carlo" è emerso, immagino che sia il termine tecnico per questo tipo di integrazione?

$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$$^2$

$f$

Una lettura supplementare a questo sarebbe ovviamente la monografia di Niederreiter (1992) .