Importa come campionare una popolazione?

Ho una vasca ben miscelata contenente un numero infinito di biglie. C'è una quantità infinita di marmi nella vasca, ma arrivano solo in un numero sconosciuto ma finito di varietà : è sconosciuto e per , disegnare un marmo di tipo potrebbe essere più probabile che disegnare un marmo di tipo .

V = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, . . ., v_{k}}

$\mathcal{V} = \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\}$

k

$k$

i \neq j

$i\neq j$

v_{i}

$v_i$

v_{j}

$v_j$

In un esperimento, una macchina campiona la vasca usando una procedura sconosciuta. La macchina riporta un set descrive le varietà di marmi dal suo campione: $X$ $q\leq k$

X \subseteq V; | X | = q

$X \subseteq \mathcal{V}; \quad |X|=q$

Le prove di questo esperimento vengono ripetute ( è fissato tra le prove) e otteniamo una sequenza di sottoinsiemi di , . $q$ $\mathcal{V}$ $(X_1,X_2,\dots)$

Le uniche altre cose che sappiamo sono:

le prove sono indipendenti e identiche
la macchina riporta le principali più frequenti nel suo campione $q$

Non sappiamo esattamente come la macchina campiona i marmi. Potrebbe scegliere un gran numero di biglie, quindi riportare la più frequente. In alternativa, potrebbe continuare a raccogliere i marmi fino a quando non ci sono varietà. Ci sono anche altre cose che potrebbe fare. $q$ $q$

La distribuzione delle nostre prove sarà influenzata dalla procedura di campionamento della macchina? $(X_1,X_2,\dots)$

probability population

— Christian Chapman
fonte

+1 Questa è un'ottima domanda perché apprezza il fatto che ci sia qualcosa di più nel campionamento casuale di qualche vaga forma di arbitrarietà o mancanza di conoscenza della procedura di campionamento.

— whuber

La regola del campionamento sarà certamente importante. Altrimenti, considera questa procedura: la macchina, ad ogni prova, seleziona sempre un singolo marmo di tipo 1 (prima varietà). Ogni sorteggio sarà indipendente e avrà una distribuzione identica (banalmente) e otterrai q = 1, un risultato perfettamente non utile.

— AlaskaRon

Un modo semplice per verificare che il metodo sia importante è scegliere le probabilità particolari per i tipi di marmi e calcolare la probabilità di ciascun sottoinsieme secondo alcuni metodi. Questo non può dimostrare che il metodo non abbia importanza, comunque.

Supponiamo che ci siano tipi e le probabilità di ciascun tipo sono rispettivamente , e . Supponiamo di scegliere tipi di marmi. $3$ $1/2$ $1/4$ $1/4$ $2$

Supponiamo che dopo aver scelto un marmo, ignori il resto del genere. La possibilità che ottieni è . $\lbrace v_2,v_3\rbrace$ $2*1/4*1/3 = 1/6$

Supponiamo di rifiutare le coppie con tipi ripetuti. La possibilità di è $\lbrace v_2,v_3\rbrace$

\frac{2 * 1 / 4 * 1 / 4}{2 * 1 / 4 * 1 / 4 + 2 * 1 / 2 * 1 / 4 + 2 * 1 / 2 * 1 / 4} = \frac{1 / 8}{1 / 8 + 1 / 4 + 1 / 4} = 1 / 5.

$\frac{2*1/4*1/4}{2*1/4*1/4 + 2*1/2*1/4 + 2*1/2*1/4} = \frac{1/8}{1/8 + 1/4 + 1/4} = 1/5.$

Poiché questi sono diversi, il metodo utilizzato dalla macchina è importante. Rifiutare le coppie con tipi ripetuti tende a pesare meno le coppie con tipi comuni.

Due dei metodi che menzioni sono equivalenti. Ignorare il resto del suo genere dopo aver raccolto un marmo equivale a raccogliere fino a quando non si hanno tipi diversi. $q$

— Douglas Zare
fonte