Errore nella stima della dimensione di un set?

Supponiamo di avere un set A e un sottoinsieme B. Se conosciamo | A |, possiamo calcolare | B | trovando la probabilità p che un elemento scelto in modo uniforme a caso da A appartenga a B. Nello specifico | A | p = | B |.

Supponiamo di generare n elementi di A uniformemente a caso e di utilizzare questi dati per stimare p (numero di elementi in B diviso per n) e quindi stimare | B |.

Quanto è affidabile questa stima? Cioè come possiamo calcolare l'errore?

Come domanda secondaria, c'è un nome per questa tecnica? (sembra essere una versione matematica della tecnica mark-and-recapture )

Stai valutando le proporzioni. Per concretezza, immagina che A sia la popolazione degli elettori e B sia l'insieme degli elettori che votano per un determinato candidato. Pertanto, p sarebbe la percentuale di elettori che voterebbero per quel candidato. Permettere:

$\pi$ è la vera percentuale di persone che voterebbero per il candidato

In altre parole:

$\pi = \frac{|B|}{|A|}$

Quindi ognuno dei tuoi campioni è un processo a bernoulli con probabilità o equivalentemente puoi immaginare che ognuno dei tuoi campioni sia un sondaggio di potenziali elettori che chiede loro se voterebbero per il candidato. Pertanto, il MLE di è dato da:$\pi$$\pi$

$p = \frac{n_B}{n}$

dove

$n_B$ è il numero di persone che hanno dichiarato di voler votare per il candidato o il numero di elementi che appartengono all'insieme B nel campione di dimensione$n$.

The standard error for your estimate is:

$\sqrt{\frac{\pi (1-\pi)}{n}}$

The above can be approximated by using the MLE for $\pi$ i.e., by:

$\sqrt{\frac{p (1-p)}{n}}$