Michael e Fraijo hanno suggerito che semplicemente verificare se il valore del parametro di interesse fosse contenuto in una regione credibile era l'equivalente bayesiano di invertire gli intervalli di confidenza. All'inizio ero un po 'scettico su questo, dal momento che non era ovvio per me che questa procedura avesse davvero portato a un test bayesiano (nel solito senso).
A quanto pare, lo fa - almeno se si è disposti ad accettare un determinato tipo di funzioni di perdita. Mille grazie a Zen , che ha fornito riferimenti a due articoli che stabiliscono una connessione tra regioni HPD e test di ipotesi:
Proverò a sintetizzarli qui, per riferimento futuro. Analogamente all'esempio della domanda originale, tratterò il caso speciale in cui le ipotesi sono dove Θ è lo spazio dei parametri.
H0:θ∈Θ0={θ0}andH1:θ∈Θ1=Θ∖Θ0,
Θ
Pereira & Stern hanno proposto un metodo per testare tali ipotesi senza dover mettere le probabilità precedenti su e Θ 1Θ0Θ1 .
Sia la funzione di densità di θ e definisca T ( x ) = { θ : π ( θ | x ) > π ( θ 0 | x ) } .π(⋅)θ
T(x)={θ:π(θ|x)>π(θ0|x)}.
Ciò significa che è una regione HPDT(x) , con credibilità .P(θ∈T(x)|x)
Il test Pereira-Stern rifiuta quando P ( θ ∉ T ( x ) | x ) è "piccolo" ( < 0,05 , diciamo). Per un posteriore unimodale, ciò significa che θ 0 è lontano dalle code del posteriore, rendendo questo criterio un po 'simile all'utilizzo dei valori p. In altre parole, Θ 0 viene rifiutato al livello del 5 % se e solo se non è contenuto nella regione HPD al 95 % .Θ0P(θ∉T(x)|x)<0.05θ0Θ05 %95 %
Lascia che la funzione di prova sia 1 se Θ 0 è accettato e 0 se Θ 0 viene rifiutato. Madruga et al. proposto la funzione di perdita
L ( θ , φ , x ) = { a ( 1 - I ( θ ∈ T ( x ) ) , se φ ( x ) = 0 b + c I ( θ ∈ ( T (φ1Θ00Θ0
cona,b,c>0.
L(θ,φ,x)={a(1−I(θ∈T(x)),b+cI(θ∈(T(x)),if φ(x)=0if φ(x)=1,
a,b,c>0
La minimizzazione della perdita attesa porta al test Pereira-Stern in cui viene rifiutato se P ( θ ∉ T ( x ) | x ) < ( b + c ) / ( a + c ) .Θ0P(θ∉T(x)|x)<(b+c)/(a+c).
θ0
x
Per ulteriori approfondimenti su questo argomento, consultare un elenco di articoli che citano il Madruga et al. articolo .
Aggiornamento ottobre 2012:
x
qα(θ|x)θP(θ≤qα(θ|x))=α(qα/2(θ|x),q1−α/2(θ|x))Θ0x
Θ0={θ0}Θ0Θ−1={θ:θ<θ0}Θ1={θ:θ>θ0}
φ=iΘi0−1
L2(θ,φ)=⎧⎩⎨0,α/2,1,if θ∈Θi and φ=i,i∈{−1,0,1},if θ∉Θ0 and φ=0,if θ∈Θi∪Θ0 and φ=−i,i∈{−1,1},
Θ0θ0
Questa mi sembra una funzione di perdita abbastanza ragionevole. Discuto di questa perdita, della perdita di Madruga-Esteves-Wechsler e dei test usando ulteriormente set credibili nel manoscritto su arXiv.