Se la somma delle probabilità degli eventi è uguale alla probabilità della loro unione, ciò implica che gli eventi sono disgiunti?

Assiomaticamente, la probabilità è una funzione che assegna un numero reale P ( A ) a ciascun evento A se soddisfa i tre presupposti fondamentali (i presupposti di Kolmogorov):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

La mia domanda è, nell'ultima ipotesi, si assume il contrario? Se mostro che è possibile aggiungere le probabilità per un certo numero di eventi per ottenere la probabilità della loro unione, posso usare direttamente questo assioma per affermare che gli eventi sono disgiunti?

No, ma puoi concludere che la probabilità di eventi condivisi è zero.

Disgiunto significa che per qualsiasi i ≠ j . Non puoi concludere ciò, ma puoi concludere che P ( A i ∩ A j ) = 0 per tutti i ≠ j . Qualsiasi elemento condiviso deve avere probabilità zero. Lo stesso vale per tutte le intersezioni di ordine superiore.$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

In altre parole, puoi dire, con probabilità 1, che nessuno degli insiemi può avvenire insieme. Ho visto tali insiemi chiamati quasi disgiunti o quasi sicuramente disgiunti, ma penso che tale terminologia non sia standard.

Non proprio, ad esempio, si consideri la distribuzione uniforme.

Sia e A 2 = [ 0,5 , 1 ] ∪ ( Q ∩ [ 0 , 1 ] ) e A i = ∅ per$A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$ .$i>2$

e P ( A 2 ) = 0,5 e si sommano a 1 ma non sono disgiunti. A 1 ∩ A 2 ≠ ∅ .$P(A_1)=0.5$$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Possono ancora intersecarsi con la misura di probabilità .$0$