Perché una statistica T necessita che i dati seguano una distribuzione normale

Stavo guardando questo quaderno e sono perplesso da questa affermazione:

Quando parliamo di normalità, intendiamo che i dati dovrebbero apparire come una normale distribuzione. Ciò è importante perché diversi test statistici si basano su questo (ad es. T-statistics).

Non capisco perché una statistica T abbia bisogno che i dati seguano una distribuzione normale.

In effetti, Wikipedia dice la stessa cosa:

La distribuzione t di Student (o semplicemente la distribuzione t) è qualsiasi membro di una famiglia di distribuzioni di probabilità continue che si presenta quando si stima la media di una popolazione normalmente distribuita

Tuttavia, non capisco perché questo presupposto sia necessario.

Nulla dalla sua formula mi indica che i dati devono seguire una distribuzione normale:

Ho guardato un po 'sulla sua definizione, ma non capisco perché la condizione sia necessaria.

Le informazioni richieste sono nella sezione "Caratterizzazione" della pagina Wiki . Una distribuzione con gradi di libertà può essere definita come la distribuzione della variabile casuale tale che dove è una distribuzione normale standard variabile casuale e è una variabile casuale con gradi di libertà . Inoltre, e devono essere indipendenti. Quindi, dato qualsiasi e che seguono la definizione di cui sopra, puoi quindi arrivare a una variabile casuale che ha unν T T = $t$$\nu$$T$Z V χ 2 ν Z V Z V

$$T = \dfrac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \,,$$ $Z$$V$$\chi^2$$\nu$$Z$$V$$Z$$V$$t$ .

Ora, supponiamo è distribuita secondo una distribuzione . Lascia che abbia media e varianza . Sia la media del campione e la varianza del campione. Vedremo quindi le formule: F F μ σ 2 ˉ X S $X_1, X_2, \dots, X_n$$F$$F$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X}$$S^2$

$$\dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \dfrac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}}} \,.$$

Se indica la distribuzione normale, allora , e quindi . Inoltre, dal Teorema di Cochran . Infine, con un'applicazione del teorema di Basu , e sono indipendenti. Ciò implica quindi che la statistica risultante ha una distribuzione con gradi di libertà .ˉ X ∼ N ( μ , σ 2 / n ) ˉ X - $F$$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$(n-1)S$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ˉ X S2tn-$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$\bar{X}$$S^2$$t$$n-1$

Se la distribuzione originale dei dati non era normale, la distribuzione esatta del numeratore e del denominatore non sarà rispettivamente normale normale e , e quindi le statistiche risultanti non avranno una distribuzione .χ 2$F$$\chi^2$$t$

Penso che ci possa essere un po 'di confusione tra la statistica e la sua formula, rispetto alla distribuzione e alla sua formula. È possibile applicare la formula della statistica t a qualsiasi set di dati e ottenere una "statistica t", ma questa statistica non verrà distribuita in base alla distribuzione student-t a meno che i dati non provengano da una distribuzione normale (o almeno non lo saranno garantito; la mia ipotesi è che le distribuzioni non normali non produrranno una distribuzione student-t quando viene applicata la formula statistica t, ma non ne sono certo). La ragione di ciò è semplicemente che la distribuzione della statistica t viene calcolata dalla distribuzione dei dati che l'hanno generata, quindi se si dispone di una distribuzione sottostante diversa, non è garantito che si disponga della stessa distribuzione per le statistiche derivate.