È un linguaggio confuso. I valori riportati sono denominati valori z. Ma in questo caso usano l' errore standard stimato al posto della vera deviazione. Quindi in realtà sono più vicini ai valori t . Confronta i seguenti tre output:
1) summary.glm
2) t-test
3) z-test
> set.seed(1)
> x = rbinom(100, 1, .7)
> coef1 <- summary(glm(x ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),length(x)), family = "binomial"))$coefficients
> coef2 <- summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))$coefficients
> coef1[4] # output from summary.glm
[1] 0.6626359
> 2*pt(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),99,ncp=0) # manual t-test
[1] 0.6635858
> 2*pnorm(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),0,1) # manual z-test
[1] 0.6626359
Non sono valori p esatti. Un calcolo esatto del valore p usando la distribuzione binomiale funzionerebbe meglio (con la potenza di calcolo al giorno d'oggi, questo non è un problema). La distribuzione t, ipotizzando una distribuzione gaussiana dell'errore, non è esatta (sopravvaluta p, superando il livello alfa si verifica meno spesso nella "realtà"). Vedi il seguente confronto:
# trying all 100 possible outcomes if the true value is p=0.7
px <- dbinom(0:100,100,0.7)
p_model = rep(0,101)
for (i in 0:100) {
xi = c(rep(1,i),rep(0,100-i))
model = glm(xi ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),100), family="binomial")
p_model[i+1] = 1-summary(model)$coefficients[4]
}
# plotting cumulative distribution of outcomes
outcomes <- p_model[order(p_model)]
cdf <- cumsum(px[order(p_model)])
plot(1-outcomes,1-cdf,
ylab="cumulative probability",
xlab= "calculated glm p-value",
xlim=c(10^-4,1),ylim=c(10^-4,1),col=2,cex=0.5,log="xy")
lines(c(0.00001,1),c(0.00001,1))
for (i in 1:100) {
lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i+1]),1-c(cdf[i+1],cdf[i+1]),col=2)
# lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i]),1-c(cdf[i],cdf[i+1]),col=2)
}
title("probability for rejection as function of set alpha level")
La curva nera rappresenta l'uguaglianza. La curva rossa è sotto di essa. Ciò significa che per un dato valore p calcolato dalla funzione di riepilogo glm, troviamo questa situazione (o differenza maggiore) meno spesso nella realtà di quanto indichi il valore p.
glm