Probabilità condizionate: sono uniche per il bayesismo?

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Mi chiedo se le probabilità condizionate siano uniche del bayesianismo o se siano più un concetto generale che è condiviso tra diverse scuole di pensiero tra gli statisti / le persone di probabilità.

In un certo senso suppongo che lo sia, perché presumo che nessuno possa $p(A,B) = p(A|B)p(B)$ sia un po 'logico, quindi penso che i frequentatori almeno sarebbero teoricamente d'accordo, mentre mettono in guardia contro Bayesiano deduzione più per ragioni pratiche e non per probabilità condizionate.

bayesian conditional-probability

— wirrbel
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"Bayesiano" e "frequentista" descrivono approcci diversi per risolvere i problemi, non diverse teorie sottostanti. Mi ci è voluto un po 'per ottenere questo. Ecco un esempio .

— user541686,

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Aggiungerei che probabilmente tutte le probabilità di qualsiasi tipo sono condizionate; si tratta solo di stabilire se le condizioni sono esplicite, a livello notazionale o concettuale.

— Nick Cox,

Non è semplicemente una questione di elementi di uno spazio campione di eventi che si escludono a vicenda e sono disgiunti (indipendenti) o altrimenti congiunti (dipendenti)? La probabilità condizionale non deriva da quest'ultima? Quindi il bayesismo è solo il caso speciale dell'applicazione della conoscenza a priori per derivare la soluzione di un problema.

— AsymLabs

Il termine "probabilità" è più restrittivo nell'uso del frequentatore che nel bayersiano, quindi ci sono casi in cui p (A | B) e p (B) sono probabili probabilità del frequentatore, ma p (A, B) non lo è.

— Accumulo

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Per accumulare altre risposte perfettamente adeguate, esempi di modelli di probabilità condizionati abbondano in modelli lineari lineari e generalizzati poiché la definizione di tali modelli è condizionata dai regressori o dalle covariate:

Y | X ~ f (y; g (X^{T} β), σ)

$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$

E la nozione di distribuzioni condizionali di probabilità è definita nella teoria delle misure senza alcun riferimento alla statistica e ancor meno al "bayesianismo". Ad esempio, Rényi ha costruito una teoria della probabilità con versioni condizionate. Si noti, inoltre, che in teoria della misura formale, condizionata è rispetto ad un -field piuttosto che a un evento. L' attesa condizionale è quindi una funzione misurabile tale che $\sigma$ $\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$ $\mathfrak{S}$

E^{S} {[X - E [X | S] Z} = 0

$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$ per tutti

funzioni misurabili

. (Come illustrato dal concetto di martingala .)

S

$\mathfrak{S}$

Z

$Z$

— Xi'an
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Come con tutta la teoria della probabilità , la probabilità condizionata non ha nulla a che fare con le statistiche bayesiane e frequentiste. Anche il teorema di Bayes non è "bayesiano", ma è un teorema generale sulla probabilità, ad es. Può essere usato per correggere le probabilità del tasso base , senza alcun precedente, o l'interpretazione bayesiana soggettiva per probabilità .

Se chiedi "qual è la probabilità di ottenere il lavoro di ingegnere di database dato che sei una femmina?", O "qual è la probabilità che tu abbia l'HIV dato che il test Western blot era positivo?", Allora chiedi del condizionale probabilità. Probabilità condizionale dei modelli di regressione logistica, ecc.

Vedi anche Esistono basi * matematiche * per il dibattito bayesiano vs frequentista? e Bayesian vs frequentist Interpretations of Probability

— Tim
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Potremmo usare un esempio di pulsante di scelta rapida meno? "La probabilità di imbattersi in un ingegnere che è inferiore a 5'6" "per esempio.

— JFA

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@JFA Non vedo alcun problema con l'esempio, almeno ti viene in mente se il condizionamento ha un senso qui.

— Tim

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I metodi frequentist usano anche probabilità condizionate. Un valore p è una probabilità condizionale. L'unico problema è che non è una probabilità condizionale molto ~~utile o~~ intuitiva. Se calcoliamo un coefficiente di correlazione e la nostra macchina sputa "p = .03", ciò che sta realmente dicendo è:

$p(D^*|H_0) = .03$

Dove riferisce ai dati osservati o ai dati più estremi (ovvero, dati che producono il risultato osservato o un risultato più forte nella stessa direzione) e $D^*$ $H_0$ è l'ipotesi nulla (e tutte le ipotesi che lo accompagnano).

Condizionata sull'ipotesi nulla, la probabilità che osserviamo i nostri dati o dati più estremi è .03. Questa è una probabilità condizionata completamente assente dal teorema di Bayes. Secondo me, di solito non è altrettanto utile (a meno che tu non stia davvero cercando di ottenere questa probabilità per un motivo o per l'altro).

— Mark White
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Penso che "non intuitivo" sia una giusta critica, ma "non utile" è un po 'lontano. Le critiche ai valori di p sono tutte buone e buone, ma possono essere sfruttate da scienziati accurati.

— Matthew Drury,

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@MatthewDrury è giusto; Ero troppo forte con la mia lingua. Ho un record di pubblicazione pieno di inferenze fatte di valori p, quindi suppongo di dover essere d'accordo. Tuttavia, si potrebbe sostenere che l'inferenza del valore p è utile solo nella misura in cui si avvicina alla copertura posteriore bayesiana di zero, non nell'inferenza in sé.

— Mark White,

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Sì, sono d'accordo che ci sia un argomento ragionevole da formulare lì. Voglio solo che stiamo attenti alla nostra mancanza di rispetto nelle nostre risposte, è importante qualificarci.

— Matthew Drury,

@MatthewDrury +1 concordato e buon punto

— Mark White

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Non penso sia giusto dire che le probabilità condizionate sono uniche del bayesianismo.

(Esperti della teoria delle misure, non esitate a correggermi.)

$\Omega^{\prime} \subset \Omega$ $\Omega$ è lo spazio campione.

Ad esempio, considera alcuni dati fittizi raccolti (NB: non abbiamo informazioni "precedenti") in un sondaggio:

\begin{array}{lcc} Maschio & Femmina \\ Possiede una TV & 75 & 72 \\ Non possiede una TV & 25 & 28 \end{array}

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$

Ω

$\Omega$

P : A \to [0, 1]

$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$

A

$\mathcal{A}$

σ

$\sigma$

Ω

$\Omega$

$A \in \mathcal{A}$

P (UN) = \frac{| UN |}{| Ω |}

$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$

| \cdot |

$|\cdot|$

$A$ $B$

\frac{| UN \cap B |}{| UN |}

$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$

A

$A$

Ω^{'} = A

$\Omega^{\prime} = A$

\frac{| UN \cap B |}{| UN |} = \frac{| UN \cap B | / | Ω |}{| UN | / | Ω |} = \frac{P (UN \cap B)}{P (UN)}

$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$

— Clarinettista
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Sono un po 'in ritardo a questa particolare festa, ma ho pensato di aggiungere una risposta più filosofica alle altre eccellenti risposte qui, nel caso in cui potesse essere utile per i futuri ricercatori.

$f_N (A \land E)$ $A\land E$ $N$ $f_N (E)$ $E$ $N$

p (UN \land E) : = lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (UN \land E)}{N}

$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$

p (E) : = lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (E)}{N}

$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$

p (A | E)

$p(A | E )$

E

$E$

A

$A$

p (UN | E) : = lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (UN \land E)}{f_{N} (E)}

$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$

p (E)

$p(E)$

p (UN | E) = lim_{N \to \infty} \frac{f_{N} (UN \land E) / N}{f_{N} (E) / N} = \frac{lim_{N \to \infty} f_{N} (UN \land E) / N}{lim_{N \to \infty} f_{N} (E) / N} = \frac{p (UN \land E)}{p (E)} .

$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$

— supergeneric
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