Il principio di indifferenza si applica al paradosso di Borel-Kolmogorov?

Considera la soluzione di Jaynes al paradosso di Bertrand usando il principio dell'indifferenza . Perché un argomento simile non si applica al paradosso di Borel-Kolmogorov ?

C'è qualcosa di sbagliato nel sostenere che, poiché il problema non specifica un orientamento per la sfera, la rotazione della sfera non dovrebbe influire sulla distribuzione risultante raggiunta dal processo di limitazione scelto?

theory paradox

— Neil G
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Dato che questo è un argomento non matematico, puoi sempre usarlo! E ugualmente trova sempre qualcuno che litiga contro di esso ...!

— Xi'an,

Inoltre, non credo che l'argomento di Jaynes chiuda il dibattito sul paradosso di Bertrand: ci sono un numero infinito di modi per disegnare fisicamente linee a caso, come discusso in questo mio post .

— Xi'an,

Hai notato come l'articolo di Wikipedia citi davvero Jaynes sul paradosso di BK? "... il termine" grande cerchio "è ambiguo fino a quando non specifichiamo quale operazione limitativa è quella di produrla. L'intuitiva argomentazione di simmetria presuppone il limite equatoriale; tuttavia uno che mangia fette di un'arancia potrebbe presupporre l'altro." Mi sembra che questo risponda alla tua domanda.

— whuber

@whuber: ho pensato che significasse che chi ha posto le domande ha dovuto specificare il processo di limitazione. Non pensavo significasse che il principio di indifferenza potesse essere usato per forzare una scelta unica nel processo di limitazione. È così che vedi la dichiarazione?

— Neil G,

@whuber: Lol :) Ok, sto ancora cercando di capirlo. Jaynes scrive che il massimo principio di entropia e i priori di Jeffreys sono estensioni del principio di indifferenza, e questi sono abbastanza convincenti per me. Quindi, sembra esserci qualcosa di interessante qui.

— Neil G,

Risposte:

Da un lato, abbiamo una comprensione pre-teorica e intuitiva della probabilità. Dall'altro, abbiamo l'assiomatizzazione formale della probabilità di Kolomogorov.

Il principio di indifferenza appartiene alla nostra comprensione intuitiva della probabilità. Riteniamo che qualsiasi formalizzazione della probabilità debba rispettarla. Tuttavia, come notate, la nostra teoria formale della probabilità non sempre lo fa, e il paradosso di Borel-Komogorov è uno dei casi in cui non lo fa.

Quindi, ecco cosa penso che tu stia davvero chiedendo: come possiamo risolvere il conflitto tra questo attraente principio intuitivo e la nostra moderna teoria della probabilità teorica?

Uno potrebbe schierarsi con la nostra teoria formale, come fanno l'altra risposta e i commentatori. Sostengono che, se si sceglie il limite all'equatore nel paradosso di Borel-Kolmogorov in un certo modo, il principio di indifferenza non regge e le nostre intuizioni sono errate.

Lo trovo insoddisfacente. Credo che se la nostra teoria formale non cattura questa intuizione di base e ovviamente vera, allora è carente. Dovremmo cercare di modificare la teoria, non di respingere questo principio di base.

Alan Hájek, un filosofo della probabilità, ha preso questa posizione e ne discute in modo convincente in questo articolo . Un articolo più lungo da lui sulla probabilità condizionale può essere trovato qui , dove discute anche alcuni problemi classici come il paradosso delle due buste.

— Patata
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Non vedo il punto del "principio di indifferenza". La risposta dell'articolo di Wikipedia è migliore: "Le probabilità potrebbero non essere ben definite se il meccanismo o il metodo che produce la variabile casuale non è chiaramente definito." In altre parole, senza nemmeno limitarci alle domande di probabilità, "Una domanda posta in modo ambiguo non ha un'unica risposta inequivocabile".

— Emil Friedman
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Grazie per la tua risposta. Hai letto la difesa di Jaynes del principio di indifferenza? E. Jaynes, "A che punto siamo nella massima entropia?", R. Levine e M. Tribus, Eds. The MIT Press, 1979, pagg. 15-118.

— Neil G