Perché ci preoccupiamo se un processo MA è invertibile?

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Ho difficoltà a capire perché ci preoccupiamo se un processo MA è invertibile o no.

Per favore, correggimi se sbaglio, ma posso capire perché ci importa se un processo AR è causale o meno, cioè se possiamo "riscriverlo", per così dire, come la somma di alcuni parametri e del rumore bianco - cioè un processo a media mobile. In tal caso, possiamo facilmente vedere che il processo AR è causale.

Tuttavia, ho difficoltà a capire perché ci preoccupiamo se possiamo rappresentare o meno un processo MA come processo AR dimostrando che è invertibile. Non capisco davvero perché ci teniamo.

Qualsiasi intuizione sarebbe grandiosa.

— agra94
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casual causal

\to

$\rightarrow$

— Richard Hardy,

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L'invertibilità non è in realtà un grosso problema perché quasi tutti i modelli Gaussiani, non invertibili MA possono essere cambiati in un modello MA invertibile che rappresenta lo stesso processo modificando i valori dei parametri. Questo è menzionato nella maggior parte dei libri di testo per il modello MA (1) ma è vero più in generale. $(q)$ $(q)$

Ad esempio, si consideri il modello MA (2) dove è rumore bianco con varianza . Questo non è un modello invertibile perché ha una radice uguale a 0,5 all'interno del cerchio dell'unità. Tuttavia, considera il modello alternativo MA (2) ottenuto modificando questa radice con il suo valore reciproco di 2 tale che il modello abbia la forma dove ha varianza . Puoi facilmente verificare che i modelli (1) e (2) abbiano entrambi le stesse funzioni di autocovarianza e quindi specificare la stessa distribuzione per i dati se il processo è gaussiano.

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$

w_{t}

$w_t$

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$

θ (B)

$\theta(B)$

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$

w_{t}^{'}

$w_t'$

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$

Per rendere identificabile il modello in modo tale che esista un mapping uno a uno da alla distribuzione dei dati, lo spazio dei parametri è quindi per convenzione limitato a quello di modelli invertibili. Questa particolare convenzione è preferita poiché il modello può quindi essere messo direttamente in forma AR con coefficienti soddisfano l'equazione della differenza semplice . $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

Se non imponiamo questa restrizione sullo spazio dei parametri, la funzione di probabilità di un MA in generale avrebbe fino a optima locale (se il polinomio MA ha radici reali distinte) che è qualcosa che vogliamo evitare. $(q)$ $2^q$ $q$

Puoi sempre spostare le radici dall'interno verso l'esterno del cerchio unitario con una corrispondente modifica della varianza del rumore bianco usando la tecnica precedente, tranne nei casi in cui il polinomio MA ha una o più radici esattamente sul cerchio unitario.

— Jarle Tufto
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Molto interessante!

— Richard Hardy,

Sì, non so perché questo non sia indicato più chiaramente nei libri di testo. Potete vedere questo "trucco" usato dalla funzione maInvertall'interno della arimafunzione di R per garantire che le stime dei parametri corrispondano a un modello invertibile.

— Jarle Tufto,

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$X_t$

X_{t} = θ (B) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (B) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

Inoltre, a giudicare dal titolo nel riferimento nel primo link, quegli autori hanno molto altro da dire su questo argomento. Purtroppo non riesco a trovare una copia di quel libro / giornale su Internet. Se qualcuno riesce a trovarlo, per favore fatemelo sapere.

— Taylor
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