Parametro di dispersione nell'output GLM

Ho eseguito un glm in R, e vicino alla parte inferiore summary()dell'output, afferma

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 28.35031)

Ho rovistato su Google e appreso che il parametro dispersion viene utilizzato per adattarsi agli errori standard. Spero che qualcuno possa fornire maggiori dettagli su quale sia il parametro di dispersione e come dovrebbe essere interpretato?

Un modo per esplorarlo è provare ad adattare lo stesso modello utilizzando strumenti diversi, ecco un esempio:

> fit1 <- lm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> fit2 <- glm( Sepal.Length ~ ., data=iris )
> summary(fit1)

Call:
lm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.79424 -0.21874  0.00899  0.20255  0.73103 

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3068 on 144 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8673,     Adjusted R-squared: 0.8627 
F-statistic: 188.3 on 5 and 144 DF,  p-value: < 2.2e-16 

> summary(fit2)

Call:
glm(formula = Sepal.Length ~ ., data = iris)

Deviance Residuals: 
     Min        1Q    Median        3Q       Max  
-0.79424  -0.21874   0.00899   0.20255   0.73103  

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        2.17127    0.27979   7.760 1.43e-12 ***
Sepal.Width        0.49589    0.08607   5.761 4.87e-08 ***
Petal.Length       0.82924    0.06853  12.101  < 2e-16 ***
Petal.Width       -0.31516    0.15120  -2.084  0.03889 *  
Speciesversicolor -0.72356    0.24017  -3.013  0.00306 ** 
Speciesvirginica  -1.02350    0.33373  -3.067  0.00258 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for gaussian family taken to be 0.09414226)

    Null deviance: 102.168  on 149  degrees of freedom
Residual deviance:  13.556  on 144  degrees of freedom
AIC: 79.116

Number of Fisher Scoring iterations: 2

> sqrt( 0.09414226 )
[1] 0.3068261

Quindi puoi vedere che l'errore standard residuo del modello lineare è solo la radice quadrata della dispersione dal glm, in altre parole la dispersione (per i modelli gaussiani) è la stessa dell'errore quadrato medio.

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \in \mathbb{R}$

Se stai usando una distribuzione normale per modellare i tuoi dati, probabilmente lo scriveresti

$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

$\mu$$\sigma$

Ma supponiamo che i tuoi dati siano conteggi e quindi normalmente non distribuiti. In questo caso non è nemmeno continuo, quindi puoi usare invece la distribuzione di Poisson:

$Y_i \sim Poisson(\lambda)$

$\lambda$$\mathbb{E}[Y_i] = \lambda$$Var[Y_i] = \lambda$

Quindi le persone aggiungono un parametro di dispersione per ottenere un ulteriore grado di libertà nel modellare media e varianza contemporaneamente. Immagino che qualsiasi libro di testo su GLM ti darà spiegazioni più dettagliate e matematiche su cosa sia, ma la motivazione, credo, è piuttosto semplice come questa.