Perché la divergenza di KL non è negativa?

Dal punto di vista della teoria dell'informazione, ho una comprensione così intuitiva:

Supponiamo che ci siano due ensemble e che sono composti dallo stesso insieme di elementi etichettati da . e sono diverse distribuzioni di probabilità rispettivamente sull'ensemble e $A$ $B$ $x$ $p(x)$ $q(x)$ $A$ $B$

Dalla prospettiva della teoria dell'informazione, è la quantità minima di bit quella necessaria per registrare un elemento per ensemble . In modo che l'attesa possa essere interpretata come almeno quanti bit sono necessari per registrare un elemento in in media. $\log_{2}(P(x))$ $x$ $A$

\sum_{x \in e n s e m b l e} - p (x) \ln (p (x))

$\sum_{x \in ensemble}-p(x)\ln(p(x))$

A

$A$

Poiché questa formula pone un limite inferiore sui bit di cui abbiamo bisogno in media, in modo che per un diverso ensemble $B$ che determina una diversa distribuzione di probabilità $q(x)$ , il limite che fornisce per ciascun elemento $x$ sarà sicuramente bit che è dato da $p(x)$ , che significa prendere le aspettative,

\sum_{x \in e n s e m b l e} - p (x) \ln (q (x))

$\sum_{x\in ensemble}-p(x)\ln(q(x))$ questa lunghezza media sarà sicuramente maggiore di quella precedente, che porta a

\sum_{x \in e n s e m b l e} p (x) \frac{\ln (p (x))}{\ln (q (x))} > 0

$\sum_{x\in ensemble }p(x)\frac{\ln(p(x))}{\ln(q(x))} > 0$ Non inserisco

\geq

$\ge$ qui da

p (x)

$p(x)$ e

q (x)

$q(x)$ sono diversi.

Questa è la mia comprensione intuitiva, esiste un modo puramente matematico per dimostrare che la divergenza di KL non è negativa? Il problema può essere dichiarato come:

Dato che $p(x)$ e $q(x)$ sono entrambi positivi sulla linea reale, e $\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx = 1$ , $\int_{-\infty}^{+\infty}q(x)dx = 1$ . Dimostra

\int_{- \infty}^{+ \infty} p (x) \ln \frac{p (x)}{q (x)}

$\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)\ln\frac{p(x)}{q(x)}$ non è negativo.

Come può essere dimostrato? O questo può essere dimostrato senza condizioni extra?

information-theory kullback-leibler

— meTchaikovsky
fonte

Se capisci la prova della disuguaglianza di Fano è facile derivare la non negatività dell'entropia relativa.

— Lerner Zhang,

Prova 1:

Prima nota che per tutti . $\ln a \leq a-1$ $a \gt 0$

Ora mostreremo che che significa che $-D_{KL}(p||q) \leq 0$ $D_{KL}(p||q) \geq 0$

\begin{aligned} - D (p | | q) & = - \sum_{x} p (x) \ln \frac{p (x)}{q (x)} \\ = \sum_{x} p (x) \ln \frac{q (x)}{p (x)} \\ \overset{(a)}{\leq} \sum_{x} p (x) (\frac{q (x)}{p (x)} - 1) \\ = \sum_{x} q (x) - \sum_{x} p (x) \\ = 1 - 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} -D(p||q)&=-\sum_x p(x)\ln \frac{p(x)}{q(x)}\\ &= \sum_x p(x)\ln \frac{q(x)}{p(x)}\\ &\stackrel{\text{(a)}}{\leq} \sum_x p(x)\left(\frac{q(x)}{p(x)}-1\right)\\ &=\sum_x q(x) - \sum_x p(x)\\ &= 1 - 1\\ &= 0 \end{align}$

Per la disuguaglianza (a) abbiamo usato il disuguaglianza spiegato all'inizio. $\ln$

In alternativa puoi iniziare con la disuguaglianza di Gibbs che afferma:

- \sum_{x} p (x) \log_{2} p (x) \leq - \sum_{x} p (x) \log_{2} q (x)

$-\sum_x p(x) \log_2 p(x) \leq -\sum_x p(x)\log_2 q(x)$

Quindi se portiamo il termine sinistro a destra otteniamo:

\sum_{x} p (x) \log_{2} p (x) - \sum_{x} p (x) \log_{2} q (x) \geq 0 \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \geq 0

$\sum_x p(x) \log_2 p(x) - \sum_x p(x)\log_2 q(x)\geq 0 \\ \sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\geq 0$

Il motivo per cui non lo includo come prova separata è perché se dovessi chiedermi di provare la disuguaglianza di Gibbs, dovrei partire dalla non negatività della divergenza di KL e fare la stessa prova dall'alto.

Prova 2: Usiamo la disuguaglianza della somma dei log :

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \log_{2} \frac{a_{i}}{b_{i}} \geq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}) \log_{2} \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} b_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} a_i \log_2 \frac{a_i}{b_i} \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)\log_2\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{\sum_{i=1}^{n} b_i}$

Quindi possiamo mostrare che : $D_{KL}(p||q) \geq 0$

\begin{aligned} D (p | | q) & = \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \\ \overset{(b)}{\geq} (\sum_{x} p (x)) \log_{2} \frac{\sum_{x} p (x)}{\sum_{x} q (x)} \\ = 1 \cdot \log_{2} \frac{1}{1} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} D(p||q)&=\sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\\ &\stackrel{\text{(b)}}{\geq} \left(\sum_x p(x)\right)\log_2\frac{\sum_x p(x)}{\sum_x q(x)}\\ &=1 \cdot \log_2 \frac{1}{1}\\ &=0 \end{align}$

dove abbiamo usato la disuguaglianza della somma dei log in (b).

Prova 3:

(Tratto dal libro "Elements of Information Theory" di Thomas M. Cover e Joy A. Thomas)

\begin{aligned} - D (p | | q) & = - \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{p (x)}{q (x)} \\ = \sum_{x} p (x) \log_{2} \frac{q (x)}{p (x)} \\ \overset{(c)}{\leq} \log_{2} \sum_{x} p (x) \frac{q (x)}{p (x)} \\ = \log_{2} 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} -D(p||q)&=-\sum_x p(x)\log_2 \frac{p(x)}{q(x)}\\ &= \sum_x p(x)\log_2 \frac{q(x)}{p(x)}\\ &\stackrel{\text{(c)}}{\leq} \log_2 \sum_x p(x)\frac{q(x)}{p(x)}\\ &=\log_2 1\\ &=0 \end{align}$

dove at (c) abbiamo usato la disuguaglianza di Jensen e il fatto che è una funzione concava. $\log$

— Andreas G.
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