Perché ?

15

Suppongo che

P (A | B) = P (A | B, C) * P (C) + P (UN | B, \neg C) * P (\neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$

è corretto, mentre

P (A | B) = P (A | B, C) + P (A | B, \neg C)

$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$

non è corretto.

Tuttavia, ho una "intuizione" su quella successiva, ovvero, si considera la probabilità P (A | B) dividendo due casi (C o Non C). Perché questa intuizione è sbagliata?

probability bayesian

— zell
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4

Ecco un semplice esempio per testare le tue equazioni. Lancia due monete indipendenti e giuste. Sia l'evento che il primo esce testa, sia l'evento che il secondo esce testa e sia l'evento che entrambi escono testa. È uno equazione che hai scritto è corretto?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— A. Rex

4

La legge della probabilità totale dice che se si desidera esprimere una probabilità incondizionata come somma delle probabilità condizionate, è necessario ponderare per l'evento di condizionamento: ad es.

P (A) = P (A | B) P (B) + P (A | \bar{B}) P (\bar{B})

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B})$

— AdamO

25

Supponiamo, ad esempio contatore facile, che la probabilità di è , indipendentemente dal valore di . Quindi, se prendiamo l' equazione errata , otteniamo: $P(A)$ $A$ $1$ $C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

Ciò ovviamente non può essere corretto, probabilmente non può essere maggiore di . Questo aiuta a costruire l'intuizione che si dovrebbe assegnare un peso a ciascuno dei due casi proporzionale alla probabilità che quel caso sia ~~, il che si traduce nella prima (corretta) equazione.~~ . $1$

Questo ti avvicina alla tua prima equazione, ma i pesi non sono completamente giusti. Vedi il commento di A. Rex per i pesi corretti.

— Dennis Soemers
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1

I pesi nella "prima (corretta) equazione" dovrebbero essere e , oppure dovrebbero essere e ?

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

P (C ∣ B)

$P(C\mid B)$

P (\neg C ∣ B)

$P(\neg C\mid B)$

— A. Rex,

@ A.Rex Questo è un buon punto, per la piena correttezza penso che dovrebbe essere e . Tutto (solo un singolo termine) sul lato sinistro dell'equazione presuppone che sia dato, quindi senza ulteriori presupposti (come supporre che e siano indipendenti l'uno dall'altro), lo stesso dovrebbe essere il caso a destra di lato

P (C | B)

$P(C | B)$

P (\neg C | B)

$P(\neg C | B)$

B

$B$

B

$B$

C

$C$

— Dennis Soemers,

Basti pensare che A | B è sicuro che accadrà al 200%.

— Mark L. Stone,

@ MarkL.Stone Significa che succede sempre due volte? ;)

— Ripristina Monica il

9

La risposta di Dennis ha un grande contro-esempio, confutando l'equazione sbagliata. Questa risposta cerca di spiegare perché la seguente equazione è corretta:

P (A | B) = P (A | C, B) P (C | B) + P (A | \neg C, B) P (\neg C | B) .

$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$

Poiché ogni termine è condizionato da , possiamo sostituire l'intero spazio di probabilità con e rilasciare il termine Questo ci dà: $B$ $B$ $B$

P (A) = P (A | C) P (C) + P (A | \neg C) P (\neg C) .

$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$

Quindi ti stai chiedendo perché questa equazione contiene i termini e . $P(C)$ $P(\neg C)$

La ragione è che è la porzione di a e è la porzione di in ei due aggiungere fino a . Vedi diagramma D'altra parte è la proporzione di contenente e $P(A|C) P(C)$ $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ $A$ $\neg C$ $A$ $P(A|C)$ $C$ $A$ è la proporzione di contenente : si tratta di proporzioni di regioni diverse, quindi non hanno denominatori comuni, quindi aggiungerle non ha senso. $P(A|\neg C)$ $\neg C$ $A$

— Ripristina Monica
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2

Non "tutto è condizionato su

". In particolare,

e

non sono, quindi non si può solo cadere

. Inoltre, ciò potrebbe suggerire che l'equazione è sbagliata!

B

$B$

P (C)

$P(C)$

P (\neg C)

$P(\neg C)$

B

$B$

— A. Rex

@Rex Tecnicamente hai ragione, avrei dovuto dire che ogni termine che coinvolge

è condizionato su

(ho fatto una semplice sostituzione

). Correggerò la risposta.

A

$A$

B

$B$

A | B \to A

$A|B \rightarrow A$

— Ripristina Monica il

5

La mia obiezione non era un tecnicismo. Il diagramma dimostra correttamente che

, che dopo il condizionamento su

diventa

P (A) = P (A ∣ C) P (C) + P (A ∣ \neg C) P (\neg C)

$P(A) = P(A\mid C) P(C) + P(A\mid\neg C) P(\neg C)$

B

$B$

; nota che le probabilità di

e

sono condizionati

. Questa non è la prima equazione fornita nel PO, il che è una buona notizia, perché la prima equazione fornita nel PO non è corretta.

P (A ∣ B) = P (A ∣ B, C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B, \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A\mid B) = P(A\mid B,C) P(C\mid B) + P(A\mid B,\neg C) P(\neg C\mid B)$

C

$C$

\neg C

$\neg C$

B

$B$

— A. Rex

@ A.Rex Hai ragione, ancora una volta,

inoltre necessario condizione che l'

come la proporzione dello spazio di probabilità contenuta in

potrebbe non essere la stessa della proporzione di

contenuta in

. Questo punto mi è sfuggito. Revisionerò di nuovo.

C

$C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

— Ripristina Monica il

7

So che hai già ricevuto due grandi risposte alla tua domanda, ma volevo solo sottolineare come puoi trasformare l'idea dietro la tua intuizione nell'equazione corretta.

Innanzitutto, ricorda che e equivalentemente. $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ $P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

Per evitare errori, useremo la prima equazione nel paragrafo precedente per eliminare tutte le probabilità condizionate, quindi continueremo a riscrivere le espressioni che coinvolgono intersezioni e unioni di eventi, quindi useremo la seconda equazione nel paragrafo precedente per reintrodurre i condizionali alla fine . Quindi, iniziamo con:

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Continueremo a riscrivere il lato destro fino a ottenere l'equazione desiderata.

Il caso nella tua intuizione espande l'evento in , risultando in $A$ $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

P (A ∣ B) = \frac{P (((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$

Come per gli insiemi, l'intersezione si distribuisce sull'unione:

P (A ∣ B) = \frac{P ((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$

Poiché i due eventi che vengono uniti nel numeratore si escludono a vicenda (poiché e non possono accadere entrambi), possiamo usare la regola di somma: $C$ $\neg C$

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A \cap B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$

Ora vediamo che ; pertanto, è possibile utilizzare la regola di somma sull'evento sull'evento di interesse (il lato "sinistro" della barra condizionale) se si mantiene lo stesso evento (il lato "destro"). Questo può essere usato come regola generale anche per altre prove di uguaglianza. $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

P (A \cap (B \cap C)) = P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)

$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$

\neg C

$\neg C$

$P(A \mid B)$

P (A ∣ B) = \frac{P (A ∣ B \cap C) P (B \cap C)}{P (B)} + \frac{P (A ∣ B \cap \neg C) P (B \cap \neg C)}{P (B)}

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$

$\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ $\neg C$

P (A ∣ B) = P (A ∣ B \cap C) P (C ∣ B) + P (A ∣ B \cap \neg C) P (\neg C ∣ B)

$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$

Qual è l'equazione corretta (anche se con notazione leggermente diversa), inclusa la correzione A. Rex ha sottolineato.

$P(A \cap C \mid B)$ $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$ $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ $B$ $P(A \cap C)$ $P(A \mid C)$ $P(C)$

— YawarRaza7349
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2

P (A ∣ B) = P (A \cap C ∣ B) + P (A \cap \neg C ∣ B)

$P(A\mid B)=P(A\cap C\mid B)+P(A\cap\neg C\mid B)$

Grazie! Questo era il punto principale che volevo sottolineare, ma non sono riuscito a capire una spiegazione di alto livello sul perché l'intersezione va a sinistra piuttosto che a destra, quindi ho usato le formule. Inoltre, ho appena notato che eri tu quello che ha sottolineato l'errore nella formula di OP, quindi ti ho accreditato per questo. (Probabilmente non l'avrei notato neanche io, lol.)

— YawarRaza7349

2

$P(\text{rain|March})$

\begin{aligned} P (rain or snow|March) & = \frac{(number of rainy or snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} + \\ \frac{(number of snowy days in March)}{(total number of days in March)} \\ = P (rain|March) + P (snow|March) \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$

This of course assumes that "snow" and "rain" are mutually exclusive. It does not, however, make sense to split up denominators. So if you have $P(\text{rain|February or March})$ , that is equal to

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$

But that is not equal to

\frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} .

$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$

If you're having trouble seeing that, you can try out some numbers. Suppose there are 10 rainy days in February and 8 in March. Then we have

\frac{(number of rainy days in February and March)}{(total number of days in February and March)} = (10 + 8) / (28 + 31) = 29.5 %

$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$

and

\begin{aligned} \frac{(number of rainy days in February)}{(total number of days in February)} + \frac{(number of rainy days in March)}{(total number of days in March)} & = (10 / 28) + (8 / 31) \\ = 35.7 % + 25.8 % \\ = 61.5 % \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$

The first number, 29.5%, is the average of 35.7% and 25.8% (with the second number weighted slightly more because there is are more days in March). When you say $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ you're saying that $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$ , which is false.

— Acccumulation
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1

If I go to Spain, I can get sunburnt.

P (s u n b u r n t | S p a i n) = 0.2

$P(sunburnt | Spain)=0.2$ This tells me nothing about getting sunburnt if not going to Spain, let's say

P (s u n b u r n t | \neg S p a i n) = 0.1

$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$ This year I'm going to Spain, so

P (s u n b u r n t) = 0.2

$P(sunburnt)=0.2$ Letting

B = Ω

$B=\Omega$ , this is,

P (B) = 1

$P(B)=1$ , your intuition would imply

P (A) = P (A | C) + P (A | \neg C)

$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$ which by the previous argument, isn't neccesarily true.

— sheriff
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