Come funziona l'errore standard?

Di recente ho esaminato il funzionamento interno dell'errore standard e mi sono trovato incapace di capire come funziona. La mia comprensione dell'errore standard è che si tratta della deviazione standard della distribuzione dei mezzi di campionamento. Le mie domande sono:

• come facciamo a sapere se l'errore standard è la deviazione standard del campione quando di solito prendiamo un solo campione?

• perché l'equazione per calcolare l'errore standard non rispecchia l'equazione della deviazione standard per un singolo campione?

Sì, l'errore standard della media (SEM) è la deviazione standard (SD) della media. (L'errore standard è un altro modo di dire SD di una distribuzione di campionamento. In questo caso, la distribuzione di campionamento è un mezzo per campioni di dimensioni fisse, diciamo N.) Esiste una relazione matematica tra il SEM e la popolazione SD: SEM = popolazione SD / radice quadrata di N. Questa relazione matematica è molto utile, poiché non abbiamo quasi mai una stima diretta del SEM ma abbiamo una stima della SD della popolazione (vale a dire la SD del nostro campione). Per quanto riguarda la tua seconda domanda, se dovessi raccogliere più campioni di dimensione N e calcolare la media per ciascun campione, potresti stimare il SEM semplicemente calcolando la DS dei mezzi. Quindi la formula per SEM rispecchia effettivamente la formula per la SD di un singolo campione.

Supponiamo che siano indipendenti e distribuiti in modo identico. Questa è la situazione a cui sono abbastanza sicuro che ti riferisci. Lascia che la loro media comune sia μ e la loro varianza comune sia σ $X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ .

Ora la media del campione è . La linearità di aspettativa mostra che anche la media di X b è μ . Il presupposto di indipendenza implica che la varianza di X b è la somma delle varianze dei suoi termini. Ciascuno di questi termini X i / n ha varianza σ 2 / n 2 (poiché la varianza di una costante per una variabile casuale è la costante quadrata per la varianza della variabile casuale). Abbiamo $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$in modo identico distribuito tali variabili per riassumere, quindi ogni termine ha la stessa varianza. Di conseguenza, otteniamo per la varianza della media del campione.$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

Di solito non conosciamo e quindi dobbiamo stimarlo dai dati. A seconda dell'impostazione, ci sono vari modi per farlo. Le due stime più comuni e generiche di σ 2 sono la varianza del campione s 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ e un piccolo multiplo di esso,s 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(che è uno stimatore imparziale diσ2). Utilizzando uno di questi al posto di$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$ nel paragrafo precedente e prendendo la radice quadrata si ottiene l'errore standard sotto forma di s / $\sigma^2$$s/\sqrt{n}$ o .$s_u/\sqrt{n}$

+1 a entrambi @JoelW. & @MichaelChernick. Voglio aggiungere un dettaglio alla risposta di @ JoelW. Egli osserva che "non abbiamo quasi mai una stima diretta del SEM", il che è essenzialmente vero, ma vale la pena riconoscere esplicitamente un avvertimento a tale affermazione. In particolare, quando uno studio confronta più gruppi / trattamenti (ad esempio, placebo rispetto al farmaco standard rispetto al nuovo farmaco), un ANOVA viene in genere utilizzato per vedere se sono tutti uguali. L'ipotesi nulla è che ogni gruppo sia stato tratto dalla stessa popolazione e quindi, tutte e tre le medie sono stime della media della popolazione. Cioè, l'ipotesi nulla in un ANOVA standard presuppone che tu abbia una stima diretta del SEM. Considera l'equazione per la varianza della distribuzione campionaria delle medie :

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ $\sigma^2_{pop}$$n_j$$F$ $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ con $x_.$ essere la media del gruppo significa.

In ciò in genere crediamo che l'ipotesi nulla non sia vera, il punto di @ JoelW. è giusto, ma lavoro su questo punto, perché penso che la chiarezza che offre sia utile per comprendere questi problemi.