Tempo medio di sopravvivenza per una funzione di sopravvivenza normale al tronco

Ho trovato molte formule che mostrano come trovare il tempo medio di sopravvivenza per una distribuzione esponenziale o Weibull, ma sto avendo molta meno fortuna per le normali funzioni di sopravvivenza.

Data la seguente funzione di sopravvivenza:

S (t) = 1 - ϕ [\frac{\ln (t) - μ}{σ}]

$S(t) = 1 - \phi \left[ {{{\ln (t) - \mu } \over \sigma }} \right]$

Come si trova il tempo medio di sopravvivenza? A quanto ho capito, $\sigma$ è il parametro di scala stimato e che exp ( $\beta$ ) da un modello di sopravvivenza parametrico è $\mu$ . Mentre penso di poterlo manipolare simbolicamente per ottenere t tutto da solo dopo aver impostato S (t) = 0,5, ciò che mi sorprende particolarmente è come gestire $\phi$ in qualcosa come R quando si riduce effettivamente a inserire tutte le stime e ottenere un tempo medio.

Finora, ho generato la funzione di sopravvivenza (e le curve associate), in questo modo:

beta0 <- 2.00
beta1 <- 0.80
scale <- 1.10

exposure <- c(0, 1)
t <- seq(0, 180)
linmod <- beta0 + (beta1 * exposure)
names(linmod) <- c("unexposed", "exposed")

## Generate s(t) from lognormal AFT model

s0.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["unexposed"]) / scale)
s1.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["exposed"]) / scale)

## Plot survival
plot(t,s0.lnorm,type="l",lwd=2,ylim=c(0,1),xlab="Time",ylab="Proportion Surviving")
lines(t,s1.lnorm,col="blue",lwd=2)

Che produce quanto segue:

inserisci qui la descrizione dell'immagine

survival

— fomite
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Immagino che intendi "tempo medio di sopravvivenza" piuttosto che "tempo medio di sopravvivenza". Il tempo di sopravvivenza mediano si trova facilmente in .

t_{med} = e x p (μ)

$t_{\textrm{med}} = exp(\mu)$

— Ocram,

@ocram - Beh, è stato ... facile. Trasformalo in una risposta e accetterò. Per curiosità, però, perché pensi che intenda "mediana" piuttosto che "cattiva"?

— Fomite

Se intendevi dire media e non mediana, non imposti S (t) = 0,5. Il lognormale è una distribuzione fortemente distorta e la media e la mediana differiscono. Il tempo medio di sopravvivenza è più complicato della mediana.

— Michael R. Chernick il

@EpiGard: ho assunto "mediana" piuttosto che "cattiva" per il motivo indicato da Michael C. ;-) Ho intenzione di convertire il mio commento in una risposta.

— Ocram,

Il tempo medio di sopravvivenza non è molto complicato. Vedi la mia risposta (Anche i vari momenti sono calcolati in modo relativamente semplice.)

— Mark Adler

Risposte:

Il tempo di sopravvivenza mediano, , è la soluzione di ; in questo caso, . Questo perché quando indica la funzione di distribuzione cumulativa di una normale variabile casuale standard. $t_{\textrm{med}}$ $S(t) = \frac{1}{2}$ $t_{\textrm{med}} = \exp(\mu)$ $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ $\Phi$

Quando , il tempo di sopravvivenza mediano è di circa come mostrato nella figura seguente. $\mu = 3$ $20.1$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— OCRAM
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Il tempo medio di sopravvivenza si trova più facilmente esprimendolo in termini della funzione generatrice del momento di una normale variabile casuale valutata in .

t = 1

$t = 1$

— cardinale

Il rmspacchetto R può aiutare:

require(rms)
f <- psm(Surv(dtime, event) ~ ..., dist='lognormal')
m <- Mean(f)
m   # see analytic form
m(c(.1,.2)) # evaluate mean at linear predictor values .1, .2
m(predict(f, expand.grid(age=10:20, sex=c('male','female'))))
# evaluates mean survival time at combinations of covariate values

— Frank Harrell
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Probabilmente abbastanza utile per il futuro, ma i dati di sopravvivenza reali non sono in R - è nella lista da tradurre ad un certo punto, ma in questo momento è solo a coefficienti, con tutto il resto fatto in SAS.

— Fomite

Troverai le capacità di analisi di sopravvivenza di R in anticipo rispetto a quelle in SAS.

— Frank Harrell,

D'accordo - quindi "nell'elenco da tradurre", ma non conosco R altrettanto bene, e sebbene questo bit sia facile, le parti estese del progetto sono considerevolmente più complicate e hanno implementazioni esistenti in SAS.

— Fomite

Nel caso in cui qualcuno veramente non vuole il tempo di sopravvivenza media come originariamente richiesto, fa di . (In effetti, il poster originale dovrebbe considerare attentamente se vogliono la media o la mediana per il loro uso del numero risultante. Per l'esempio fornito con , la media è quasi il doppio della mediana.) $e^{\mu+{\sigma^2\over 2}}$ $\sigma=1.1$

— Mark Adler
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