In che modo la sufficienza bayesiana è correlata alla sufficienza frequentista?


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La definizione più semplice di statistiche sufficienti nella prospettiva frequentista è data qui in Wikipedia . Tuttavia, di recente mi sono imbattuto in un libro bayesiano, con la definizione . Nel link è indicato che entrambi sono equivalenti, ma non vedo come. Inoltre, nella stessa pagina, nella sezione «Altri tipi di sufficienza» si afferma che entrambe le definizioni non sono equivalenti in spazi a dimensione infinita ...P(θ|x,t)=P(θ|t)

Inoltre, in che modo la sufficienza predittiva si collega alla sufficienza classica?

Risposte:


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Se una statistica è sufficiente nel modo frequentista, allora , quindi Tp(xθ,t)=p(xt)

p(θx,t)=p(xt,θ)p(tθ)p(θ)p(xt)p(t)(freq. suff.)=p(tθ)p(θ)p(t)=p(θt).

D'altra parte, se è sufficiente nel modo bayesiano, allora T

p(xθ,t)=p(x,θ,t)p(θ,t)=p(θx,t)p(x,t)p(θt)p(t)(Bayesian suff.)=p(x,t)p(t)=p(xt).

Riguardo alla "sufficienza predittiva", che cos'è?

Modifica: se si dispone della sufficienza bayesiana, si dispone della sufficienza predittiva:

p(xx)=p(xθ)p(θx)dθ(Bayesian suff.)=p(xθ)p(θt)dθ=p(xt).

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Taylor, è definito nello stesso link, proprio sotto nella sezione di Bayesian Sufficiency.
Un vecchio nel mare.

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Ci siamo imbattuti in un fenomeno interessante alcuni anni fa , quando studiavamo la scelta del modello bayesiano con la ABC. Il che penso sia correlato a questa domanda. Esiste davvero una nozione di sufficienza per la scelta del modello bayesiano che non sembra particolarmente significativa al di fuori dell'approccio bayesiano.

Dati due modelli e e un campione da uno di questi due modelli, una statistica è sufficiente per la scelta del modello o attraverso il modello se la distribuzione di condizionale su non dipende dall'indice del modello (1 o 2) o dal valore del parametro all'interno del modello.

M1={fθ();θΘ}
M2={gξ();ξΞ}
x=(x1,,xn)SXS(X)

Quando esistono statistiche sufficienti, un fattore di Bayes basato su è lo stesso di un fattore di Bayes basato su . Mentre questa è una definizione che non è bayesiana in sé, non vedo alcuna applicazione diretta al di fuori della scelta del modello bayesiano.XS(X)

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