Stimatore positivo non distorto per il quadrato della media

Supponiamo di avere accesso ai campioni iid da una distribuzione con media (varianza) vera (sconosciuta) e varianza , e vogliamo stimare . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Come possiamo costruire uno stimatore imparziale, sempre positivo di questa quantità?

Prendere il quadrato della media del campione è distorto e sopravvaluterà la quantità, esp. se è vicino a 0 e è grande. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

Questa è forse una domanda banale, ma le mie abilità su Google mi stanno deludendo perché estimator of mean-squaredritorna solomean-squarred-error estimators

Se semplifica le cose, si può presumere che la distribuzione sottostante sia gaussiana.

Soluzione:

È possibile costruire una stima imparziale di ; vedi la risposta di knrumsey $\mu^2$
Non è possibile costruire una stima imparziale, sempre positiva di poiché questi requisiti sono in conflitto quando la media vera è 0; vedi la risposta di Winks $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Winks
fonte

Forse cercare invece lo stimatore della media quadrata o lo stimatore del quadrato della media . Quando ho letto il tuo titolo, ero anche confuso (proprio come Google), quindi l'ho modificato per renderlo più intuitivo.

— Richard Hardy,

Risposte:

Si noti che anche la media di esempio è normalmente distribuita, con media e varianza . Ciò significa che $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Se tutto ciò che ti interessa è una stima imparziale, puoi usare il fatto che la varianza del campione è imparziale per . Ciò implica che lo stimatore è imparziale per . $\sigma^2$

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$

μ^{2}

$\mu^2$

— knrumsey
fonte

Grazie per il tuo contributo! Questa è una buona osservazione ma non soddisfa il requisito sempre positivo; dati i campioni {-1,1}, la media del campione è 0 e la varianza del campione è 2, portando a una stima di -1.

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

— Strizza l'

Dato che è minimo sufficiente e completo, questo stimatore imparziale dovrebbe essere quello con una varianza minima.

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

— Xi'an

@Winks Questa è la vera ragione per cui questo è un esempio di assurdo stimatore imparziale.

— Testardo:

Molto interessante. Un semplice stimatore non corretto utilizzando due osservazioni iid e è , come . Ovviamente questo non è un buon stimatore, ma chiarisce che qualsiasi polinomio in ha uno stimatore senza correzione, che ho ritenuto interessante.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

— Paul Harrison,

Non dovrebbe essere possibile produrre uno stimatore che sia allo stesso tempo imparziale e sempre positivo per . $\mu^2$

Se la media vera è 0, lo stimatore deve in aspettativa restituire 0 ma non può emettere numeri negativi, pertanto non è neppure consentito generare numeri positivi poiché sarebbe distorto. Uno stimatore imparziale, sempre positivo di questa quantità, deve quindi sempre restituire la risposta corretta quando la media è 0, indipendentemente dai campioni, il che sembra impossibile.

La risposta di knrumsey mostra come correggere il bias dello stimatore quadrato medio-campione per ottenere una stima imparziale di . $\mu^2$

— Winks
fonte

C'è un documento piuttosto vecchio di Jim Berger che stabilisce questo fatto, ma non riesco a rintracciarlo. Il problema si presenta anche a Monte Carlo con stimatori di debiasing come la roulette russa.

— Xi'an