"Teorema del limite centrale" per la somma ponderata delle variabili casuali correlate

Sto leggendo un documento che lo afferma

{\hat{X}}_{K} = \frac{1}{\sqrt{N}} Σ_{j = 0}^{N - 1} X_{j} e^{- io 2 π K j / N},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (ovvero la Trasformata di Fourier discreta , DFT) del CLT tende a una variabile casuale gaussiana (complessa). Tuttavia, so che questo non è vero in generale. Dopo aver letto questo argomento (fallace), ho cercato su Internet e ho trovato questo documento del 2010 di Peligrad & Wu , dove dimostrano che per alcuni processi stazionari, si può trovare un "teorema di CLT".

La mia domanda è: hai altri riferimenti che provano ad affrontare il problema di trovare la distribuzione limitante del DFT di una data sequenza indicizzata (sia per simulazione che per teoria)? Sono particolarmente interessato al tasso di convergenza (ovvero alla velocità con cui converge la DFT) data una struttura di covarianza per nel contesto dell'analisi di serie temporali o derivazioni / applicazioni a serie non stazionarie. $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
fonte

$_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
fonte

Quali sono queste condizioni? E in che modo il suo teorema differisce da quello che cito?

— Néstor,

Probabilmente è molto simile al risultato nel documento che citi. L'ho cercato perché sembrava qualcosa di simile a un risultato che ho imparato nei miei giorni di scuola di specializzazione. Non ho intenzione di recitare le ipotesi. Implica un vincolo sulla funzione di autocorrelazione per Xj e gli λjs non si sommano in coppie a multipli di 2π.

— Michael R. Chernick,