Una probabilità posteriore può essere> 1?

Nella formula di Bayes:

P (X | un') = \frac{P (un' | X) P (X)}{P (un')}

$P(x|a) = \frac{P(a|x) P(x)}{P(a)}$

la probabilità posteriore può superare 1? $P(x|a)$

Penso che sia possibile, ad esempio, supponendo che e e . Ma non ne sono sicuro, perché cosa significherebbe per una probabilità essere maggiore di una? $0 < P(a) < 1$ $P(a) < P(x) < 1$ $P(a)/P(x) < P(a|x) < 1$

probability bayesian conditional-probability

— Thomas Moore
fonte

Si dovrebbe essere precisi nel definire la notazione. Non è chiaro cosa rappresenti . Se è (a) una distribuzione di probabilità (nel qual caso e sono impostate) o (b) una funzione di massa su uno spazio discreto, le risposte che hai già sono sostanzialmente corrette. Se è una funzione di densità, non è vero che . Il motivo del nitpicking è che tutti e tre i tipi di funzioni soddisfano la regola di Bayes. La notazione solito è per una distribuzione, ma l'uso di caratteri minuscoli per argomenti suggerisce una densità.

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

a

$a$

x

$x$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

P (x ∣ a) \leq 1

$P(x \mid a) \le 1$

P (\cdot)

$P(\cdot)$

— ragazzo

P (x ∣ a) = \frac{P (x, a)}{P (a)} \leq \frac{P (a)}{P (a)} = 1

$P(x\mid a) = \frac{P(x,a) }{P(a)} \le \frac{P(a) }{P(a)} =1$ quindi la probabilità posteriore non può superare . (La densità posteriore è una questione diversa - molte distribuzioni continue hanno densità superiori a per alcuni valori)

1

$1$

1

$1$

— Henry

Se il posteriore calcolato supera uno, hai commesso un errore da qualche parte.

— Emil M Friedman,

@EmilMFriedman, la tua risposta è ambigua (e, quindi, potenzialmente dannosa), perché non indica se si riferisce a una probabilità o densità

— whuber

La barriera di unità nella probabilità può ed è stata rotta. Vedi il mio post AT stats.stackexchange.com/questions/4220/… .

— Mark L. Stone,

Risposte:

Le condizioni assunte non valgono, non può mai essere vero che dalla definizione di probabilità condizionale : $P(a)/P(x) < P(a|x)$

$P(a|x) = P(a\cap x) / P(x) \leq P(a) / P(x)$

— Khol
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No, non è possibile che la probabilità posteriore superi quella. Sarebbe una violazione dell'assioma normativo della teoria della probabilità. Utilizzando le regole della probabilità condizionale, devi avere:

P (a | x) = \frac{P (a, x)}{P (x)} ⩽ \frac{P (a)}{P (x)} .

$\mathbb{P}(a | x) = \frac{\mathbb{P}(a,x)}{\mathbb{P}(x)} \leqslant \frac{\mathbb{P}(a)}{\mathbb{P}(x)}.$

Ciò significa che non puoi avere le condizioni di disuguaglianza che hai specificato. (Per inciso, questa è una buona domanda: è bene che tu stia sondando le leggi sulla probabilità in cerca di problemi. Dimostra che stai esplorando queste questioni con un maggior grado di rigore rispetto alla maggior parte degli studenti.)

Un ulteriore punto: vale la pena fare un ulteriore punto su questa situazione, che riguarda la priorità logica delle diverse caratteristiche di probabilità. Ricorda che la teoria della probabilità inizia con un insieme di assiomi che caratterizzano ciò che è effettivamente una misura di probabilità. Da questi assiomi possiamo derivare "regole di probabilità" che sono teoremi derivati dagli assiomi. Queste regole di probabilità devono essere coerenti con gli assiomi per essere valide. Se mai scoprissi che una regola di probabilità porta a una contraddizione con uno degli assiomi (ad esempio, la probabilità dello spazio campione è maggiore di uno), ciò non falserebbe l'assioma , falserebbe la regola di probabilità . Quindi, anche se fosse il caso, la regola delle Bayes potevaportare a una probabilità posteriore maggiore di una (non è così), ciò non significherebbe che si può avere una probabilità posteriore maggiore di una; significherebbe semplicemente che la regola di Bayes non è una regola di probabilità valida.

— Ripristina Monica
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Il numeratore finale dovrebbe essere P (x)?

— BallpointBen

Sto ancora mostrando P (a) per me

— BallpointBen

Dovrebbe essere P (a) nel numeratore. La disuguaglianza sta mostrando all'OP che non può avere P (a | x)> P (a) / P (x) come specificato nella sua domanda.

— Ripristina Monica

La formula di Bayes non può fornire valori persuperiori a. Un modo intuitivo per vederlo è esprimeretramite la legge della probabilità totale come dando che $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ $P(B\mid A)$ $1$ $P(A)$

P (UN) = P (UN | B) P (B) + P (UN | B^{c}) P (B^{c})

$P(A) = P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)$

che mostra che il numeratore è solo uno dei termini nella somma nel denominatore, e quindi la frazione non può superare

in valore .

P (B | UN) = \frac{P (UN | B) P (B)}{P (UN)} = \frac{P (UN | B) P (B)}{P (UN | B) P (B) + P (UN | B^{c}) P (B^{c})}

$P(B \mid A) = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)} = \frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B) + P(A\mid B^c)P(B^c)}$

1

$1$

— Dilip Sarwate
fonte

+1 questa è la prova più semplice per me.

— Mehrdad,

P (B ∣ A)

$P(B\mid A)$

1

$1$

P (A ∣ B) P (B) = P \A \cap B)

$P(A\mid B)P(B) = P\A\cap B)$

P (A)

$P(A)$

A \cap B \subset A

$A\cap B \subset A$

P \A \cap B) \leq P (A)

$P\A\cap B) \leq P(A)$ e hanno di per sé poca relazione con la formula di Bayes (poiché viene utilizzata nelle statistiche per derivare le probabilità posteriori dalle probabilità precedenti).

— Dilip Sarwate,