Il test di Mantel può essere esteso a matrici asimmetriche?

Il test di Mantel viene generalmente applicato a matrici simmetriche di distanza / differenza. Per quanto ho capito, un'ipotesi del test è che la misura utilizzata per definire le differenze deve essere almeno una semi-metrica (soddisfare i requisiti standard di una metrica ma non la disuguaglianza del triangolo).

L'assunzione della simmetria può essere rilassata (dando una pre-metrica)? In questo caso è possibile applicare il test di permutazione, utilizzando la matrice completa?

Non ha bisogno di essere esteso. Il test originale di Mantel, presentato nel documento di Mantel del 1967 , consente matrici asimmetriche. Ricordiamo che questo test confronta due distanza matrici X e Y .$n\times n$$X$$Y$

A questo punto possiamo anticipare una modifica della nostra statistica che semplificherà le procedure statistiche da sviluppare di seguito. La modifica è di rimuovere la restrizione e sostituirla solo con la restrizione i ≠ j . Dove X i j = X j i e Y i j = Y j i , l'effetto della modifica è semplicemente quello di raddoppiare esattamente il valore della somma. Tuttavia, le procedure poi sviluppate sono appropriate anche quando le relazioni di distanza non sono simmetriche, cioè quando è possibile che $i\lt j$$i\ne j$$X_{ij} = X_{ji}$$Y_{ij} = Y_{ji}$ e Y i j ≠ Y j i ; un caso particolare poi coperto è dove X i j =- X j i , Y i j =- Y j i ...$X_{ij} \ne X_{ji}$$Y_{ij} \ne Y_{ji}$$X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$

(nella sezione 4; enfasi aggiunta).

La simmetria sembra essere una condizione artificiale in molti software, come il ade4pacchetto per R, che utilizza oggetti di una classe "dist" per memorizzare e manipolare matrici di distanza. Le funzioni di manipolazione presuppongono che le distanze siano simmetriche. Per questo motivo non è possibile applicare la sua mantel.rtestprocedura alle matrici asimmetriche, ma ciò è puramente una limitazione del software, non una proprietà del test stesso.

Il test stesso non sembra richiedere alcuna proprietà delle matrici. Ovviamente (in virtù del riferimento esplicito ai riferimenti antisimmetrici alla fine del passaggio precedente) non è nemmeno necessario che le voci in o Y siano positive. È semplicemente un test di permutazione che utilizza una misura della correlazione delle due matrici (considerate come vettori con n 2 elementi) come statistica del test.$X$$Y$$n^2$

In linea di principio possiamo elencare possibili permutazioni dei nostri dati, calcolare Z [la statistica del test] per ciascuna permutazione e ottenere la distribuzione nulla di Z rispetto alla quale si può giudicare il valore osservato di $n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

In effetti, Mantel ha esplicitamente sottolineato che le matrici non devono essere matrici a distanza e ha sottolineato l'importanza di questa possibilità :

Le formule del caso generale saranno appropriate anche per i casi in cui e Y i j non seguono le regolarità aritmetiche e geometriche imposte nel problema del clustering; ad es . X i k ≤ X i j + X j k . È l'applicabilità della procedura generale agli arbitrari X i j e Y i j che sta alla base della sua estensione a una più ampia varietà di problemi ...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(L'esempio indica la disuguaglianza del triangolo.)

$n$$n-1$

$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

In conclusione, sin dall'inizio ognuno degli assiomi metrici è stato esplicitamente considerato e respinto come inessenziale per il test:

1. Le "distanze" possono essere negative.

2. Le "distanze" tra un oggetto e se stesso possono essere diverse da zero.

3. La disuguaglianza del triangolo non è necessaria.

4. Le "distanze" non devono necessariamente essere simmetriche.

$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Questo è un esempio del test in R. Dati due matrici di distanza xe y, restituisce un campione della distribuzione di permutazione (come un vettore di valori della statistica test). Non lo richiede xo non yha alcuna proprietà particolare. Devono solo avere le stesse dimensioni della matrice quadrata.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}