Come rappresentare correttamente le variabili di differenza nei DAG?

Se sono interessato agli effetti causali della variazione di una variabile ( ) su un risultato ( ), come lo rappresenterei in un grafico aciclico diretto (DAG)? $E$ $O$

Supponiamo che , dove ed verificano a volte 1 e 2, un DAG corretto sia: $\Delta E_2 = E_2 - E_1$ $E_1$ $E_2$

1. Supponendo che è semplicemente catturato da tutti i livelli di e (alla gli effetti di interazione stesso modo sono così catturati)? $\Delta E_2$ $E_1$ $E_2$

DAG 1: E_1 ed E_2 causano entrambi O

2. Supponendo che sia una variabile causalmente distinta da ed , ma che richieda la presenza di tali variabili? $\Delta E_2$ $E_1$ $E_2$

DAG 2: E_1, E_2 e Delta E causano tutti O

3. Supponendo che sia indipendente da ed e che quest'ultimo non sia necessario per rappresentare gli effetti di ? $\Delta E_2$ $E_1$ $E_2$ $\Delta E_2$

DAG 3: Delta E causa O

Qualcos'altro?

NOTA: " DAG " non significa "qualsiasi vecchio tipo di grafico causale o correlativo", ma è un formalismo strettamente proibito che rappresenta credenze causali.

La mia motivazione è che sto cercando di pensare alla rappresentazione DAG di modelli dinamici come il modello di correzione degli errori generalizzata:

Δ O_{t} = β_{0} + β_{c} (O_{t - 1} - E_{t - 1}) + β_{Δ E} Δ E_{t} + β_{E} E_{t - 1} + ε_{t}

$\Delta O_t = \beta_{0} + \beta_{\text{c}}\left(O_{t-1} - E_{t-1}\right) + \beta_{\Delta E}\Delta E_{t} + \beta_E E_{t-1} + \varepsilon_t$

Naturalmente, la stima dei parametri grezzi viene trasformata per interpretare il modello come di seguito, quindi forse DAGing il modello sopra sarebbe ancora più disordinato?

Effetto istantaneo a breve termine del cambiamento in su : $E$ $\Delta O$ $\beta_{\Delta E}$

Effetto ritardato a breve termine del livello di su : $E$ $\Delta O$ $\beta_{E} - \beta_{\text{c}} - \beta_{\Delta E}$

Effetto di equilibrio a lungo termine di ritardato su : $E$ $\Delta O$ $\frac{\beta_{\text{c}} - \beta_{E}}{\beta_{\text{c}}}$

time-series dag

— Alexis
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Risposte:

La soluzione è pensare in modo funzionale.

Il valore di $\Delta E_{2} = f(E_{1},E_{2})$ più specificamente $\Delta E_{2} = E_{2} - E_{1}$ . Pertanto le variabili di differenza possono essere rappresentate nei DAG con l'opzione 4, "qualcos'altro" (presuppone questo DAG $E_{1}$ e $E_{2}$ causa diretta $O$ oltre alla loro differenza):

DAG della variabile differenza con effetti diretti delle variabili parent

Se $E_{1}$ & $E_{2}$ non hanno effetti diretti su $O$ , $\Delta E_{2}$ rimane ancora una funzione dei suoi genitori:

DAG di una variabile differenza senza effetti diretti delle variabili parent

Se riscriviamo così il modello di correzione dell'errore generalizzata a singolo ritardo ( $Q_{t-1}$ per "termine eQuilibrium", dove $Q_{t-1} = O_{t-1} - E_{t-1}$ ):

Δ O_{t} = β_{0} + β_{c} (Q_{t - 1}) + β_{Δ E} Δ E_{t} + β_{E} E_{t - 1} + ε_{t}

$\Delta O_t = \beta_{0} + \beta_{\text{c}}\left(Q_{t-1}\right) + \beta_{\Delta E}\Delta E_{t} + \beta_E E_{t-1} + \varepsilon_t$

Quindi il DAG alla base del modello per $\Delta O_{t}$ (ignorando i suoi discendenti a $t+1$ ) è:

Segmento di aDAG al momento t per un modello di correzione degli errori generalizzato

Gli effetti di $E$ su $\Delta O_{t}$ dal modello si entra quindi dal termine di equilibrio $Q_{t-1}$ , a partire dal $E_{t-1}$ e dal termine del cambiamento $\Delta E_{t}$ . Altre cause di $O_{t-1}$ , $O_{t}$ , $E_{t-1}$ e $E_{t}$ (ad es. variabili non modellate, input casuali) sono lasciati impliciti.

La parte di questa risposta corrispondente ai primi due DAG è fornita per gentile concessione della comunicazione personale con Miguel Hernán.

— Alexis
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MODIFICARE:

Se ti preoccupi solo di rappresentare relazioni non parametriche tra le tue variabili, penso che 1) sarebbe il più appropriato. Mentre può esserci una forma funzionale più specifica che collega le due variabili al risultato, in un DAG non è necessario rappresentare quella forma. D'altra parte, se si desidera utilizzare un diagramma di percorso che rappresenta un modello di equazione strutturale lineare come quello che è stato scritto, sarebbe opportuno includere il punteggio di differenza nel diagramma; in questo modo, il modello specifico che hai scritto e il diagramma sarebbero ugualmente specifici. Un DAG è più vago (ma anche più flessibile) poiché non richiede (o è necessario consentire) un modulo di funzione specifico.

Potrebbe arrivare all'obiettivo di disegnare il tuo DAG. Se il tuo obiettivo è rappresentare con la massima precisione possibile le relazioni tra le tue variabili, sarebbe logico includere il termine differenza come propria variabile poiché ha una propria forza causale. Anche un grafico senza di esso sarebbe valido. In teoria, si potrebbero fare le stesse dichiarazioni di indipendenza condizionale sull'esito e sui predittori con un DAG più dettagliato che con uno meno dettagliato.

La mia intuizione è la più vicina a 3). Se è vero quello $E_1$ e $E_2$ non influenzano direttamente $O$ tranne che per la loro differenza, quindi 3) è corretto e aggiungerei bordi da $E_1$ e $E_2$ per $\Delta E_2$ e da $E_1$ per $E_2$ per completezza. Nessun altro nodo indicherebbe la variabile differenza, ma invece le variabili che prevedono la differenza $E_1$ e / o $E_2$ . Graficamente, quello che sto descrivendo è:

E1
 |---->  E2-E1 ---> O
 V       ^
E2-------|

con possibili frecce aggiuntive da $E_1$ e $E_2$ per $O$ se influenzano $O$ oltre il loro effetto attraverso la loro differenza.

— Noè
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"Se è vero che E1 ed E2 non influenzano direttamente O se non per la loro differenza", sembra che tu stia ignorando il modello che ho specificato.

— Alexis,

Seconda preoccupazione. La variabile di interazione

E_{1} \times E_{2}

$E_{1}\times E_{2}$ è puramente una funzione di

E_{1}

$E_{1}$ e

E_{2}

$E_{2}$ , Tuttavia, una tale variabile non sarebbe rappresentato come avete disegnato il DAG nella sua risposta , quindi non è affatto chiaro per me che, anche se io fossi interessato a modello

Δ O = β_{0} + Δ E_{2} + ε

$\Delta O = \beta_{0} + \Delta E_{2} + \varepsilon$ che il tuo DAG sarebbe corretto.

— Alexis,

Quelle sono buone preoccupazioni. Stavo ignorando il modello che hai specificato e mi sono concentrato sulla tua domanda. Vuoi specificare un diagramma di percorso che rappresenti un modello di equazione strutturale lineare o un DAG non parametrico? Se il primo, ti consigliamo di includere il termine differenza come propria variabile. Altrimenti, come hai detto, sarebbe opportuno non farlo (proprio come sarebbe con un'interazione). Revisionerò la mia risposta.

— Noah,

La domanda non ha nulla a che fare con i SEM. Si può dire perché SEM non appare nella domanda, anche come tag. :) D'altra parte, la mia domanda riguarda i DAG. :) Inoltre: per quanto riguarda il mio secondo commento "per niente chiaro" non significa che non sei corretto ... significa solo che ho bisogno di persuadere sui formalismi DAG.

— Alexis,

La mia risposta probabilmente non è molto convincente, ma spero che qualcun altro possa fare un lavoro migliore. Il modello che hai scritto è un SEM lineare, quindi anche se non lo hai chiesto espressamente, se stai cercando di mettere in relazione una sorta di diagramma del percorso con i termini in un modello, ti stai avventurando nel territorio del diagramma del percorso SEM.

— Noah,