Qual è la distribuzione della media arrotondata per difetto delle variabili casuali di Poisson?

Se ho variabili casuali che sono Poisson distribuite con i parametri λ 1 , λ 2 , … , λ n , qual è la distribuzione di Y = ⌊ ∑ n i = 1 X i$X_1,X_2,\ldots,X_n$$\lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_n$$Y=\left\lfloor\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right\rfloor$(cioè il numero intero della media)?

Una somma di Poisson è anche Poisson, ma non sono abbastanza fiducioso nelle statistiche per determinare se è lo stesso per il caso precedente.

Una generalizzazione della domanda richiede la distribuzione di quando la distribuzione di X è nota e supportata sui numeri naturali. (Nella domanda, X ha una distribuzione di Poisson del parametro λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n e m = n .)$Y = \lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$m=n$

La distribuzione di è facilmente determinata dalla distribuzione di m Y , la cui probabilità di generazione di funzione (PGF) può essere determinato in termini di PGF di X . Ecco uno schema della derivazione.$Y$$mY$$X$

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Scrivi per il pgf di X , dove (per definizione) p n = Pr ( X = n ) . m Y è costruito da X in modo tale che il suo pgf, q , sia$p(x) = p_0 + p_1 x + \cdots + p_n x^n + \cdots$$X$$p_n = \Pr(X=n)$$mY$$X$$q$

$$\eqalign{q(x) &=& \left(p_0 + p_1 + \cdots + p_{m-1}\right) + \left(p_m + p_{m+1} + \cdots + p_{2m-1}\right)x^m + \cdots + \\&&\left(p_{nm} + p_{nm+1} + \cdots + p_{(n+1)m-1}\right)x^{nm} + \cdots.}$$

Perché questo converge assolutamente per , possiamo riorganizzare i termini in una somma di pezzi del modulo$|x| \le 1$

$$D_{m,t}p(x) = p_t + p_{t+m}x^m + \cdots + p_{t + nm}x^{nm} + \cdots$$

per . La serie di potenze delle funzioni x t D m , t p costituiti da ogni m esimo termine della serie di p partire dalla t th : questo è talvolta chiamato decimazione di p . Le ricerche di Google al momento non forniscono molte informazioni utili sulle decimazioni, quindi per completezza, ecco una derivazione di una formula.$t=0, 1, \ldots, m-1$$x^t D_{m,t}p$$m^\text{th}$$p$$t^\text{th}$$p$

Lasciate essere qualsiasi primitiva m esima radice di unità; per esempio, prendi ω = exp ( 2 i π / m ) . Quindi segue da ω m = 1 e ∑ m - 1 j = 0 ω j = 0 che$\omega$$m^\text{th}$$\omega = \exp(2 i \pi / m)$$\omega^m=1$$\sum_{j=0}^{m-1}\omega^j = 0$

$$x^t D_{m,t}p(x) = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(x/\omega^j).$$

Per vedere questo, nota che l'operatore è lineare, quindi è sufficiente controllare la formula sulla base { 1 , x , x 2 , ... , x n , ... } . Applicando il lato destro a x n si ottiene$x^t D_{m,t}$$\{1, x, x^2, \ldots, x^n, \ldots \}$$x^n$

$$x^t D_{m,t}[x^n] = \frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} x^n \omega^{-nj}= \frac{x^n}{m}\sum_{j=0}^{m-1} \omega^{(t-n) j.}$$

Quando e n differiscono per un multiplo di m , ogni termine nella somma è uguale a 1 e otteniamo x n . Altrimenti, i termini si alternano tra potenze di ω t - n e questi si sommano a zero. Da cui questo operatore conserva tutti i poteri di x congruente a t modulo me uccide tutti gli altri: è proprio la proiezione desiderata.$t$$n$$m$$1$$x^n$$\omega^{t-n}$$x$$t$$m$

Una formula per segue prontamente cambiando l'ordine della somma e riconoscendo una delle somme come geometrica, scrivendola così in forma chiusa:$q$

$$\eqalign{ q(x) &= \sum_{t=0}^{m-1} (D_{m,t}[p])(x) \\ &= \sum_{t=0}^{m-1} x^{-t} \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \omega^{t j} p(\omega^{-j}x ) \\ &= \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} p(\omega^{-j}x) \sum_{t=0}^{m-1} \left(\omega^j/x\right)^t \\ &= \frac{x(1-x^{-m})}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \frac{p(\omega^{-j}x)}{x-\omega^j}. }$$

Ad esempio, il pgf di una distribuzione di Poisson del parametro è p ( x ) = exp ( λ ( x - 1 ) ) . Con m = 2 , ω = - 1 e il pgf di 2 Y sarà$\lambda$$p(x) = \exp(\lambda(x-1))$$m=2$$\omega=-1$$2Y$

$$\eqalign{ q(x) &= \frac{x(1-x^{-2})}{2} \sum_{j=0}^{2-1} \frac{p((-1)^{-j}x)}{x-(-1)^j} \\ &= \frac{x-1/x}{2} \left(\frac{\exp(\lambda(x-1))}{x-1} + \frac{\exp(\lambda(-x-1))}{x+1}\right) \\ &= \exp(-\lambda) \left(\frac{\sinh (\lambda x)}{x}+\cosh (\lambda x)\right). }$$

Un uso di questo approccio è quello di calcolare i momenti di e m Y . Il valore della k esima derivata della PGF di valutazioni x = 1 è il k esimo momento fattoriale. Il k esima momento è una combinazione lineare dei primi k momenti fattoriali. Usando queste osservazioni troviamo, ad esempio, che per un Poisson distribuito X , la sua media (che è il primo momento fattoriale) è uguale a λ , la media di 2 ⌊ ( X / 2 ) ⌋ è uguale a $X$$mY$$k^\text{th}$$x=1$$k^\text{th}$$k^\text{th}$$k$$X$$\lambda$$2\lfloor(X/2)\rfloor$e la media di3⌊(X/3)⌋ èuguale aλ-1+e-3λ/2(sin ( $\lambda- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2\lambda}$$3\lfloor(X/3)\rfloor$:$\lambda -1+e^{-3 \lambda /2} \left(\frac{\sin \left(\frac{\sqrt{3} \lambda }{2}\right)}{\sqrt{3}}+\cos \left(\frac{\sqrt{3} \lambda}{2}\right)\right)$

I mezzi per sono mostrati rispettivamente in blu, rosso e giallo, come funzioni di λ : asintoticamente, la media scende di ( m - 1 ) / 2 rispetto alla media originale di Poisson.$m=1,2,3$$\lambda$$(m-1)/2$

Formule simili per le varianze possono essere ottenute. (Diventano disordinati quando alza e così vengono omessi. Una cosa che stabiliscono definitivamente è che quando m > 1 nessun multiplo di Y è Poisson: non ha la caratteristica uguaglianza di media e varianza) Ecco un diagramma delle varianze come una funzione di λ per m = 1 , 2 , 3 :$m$$m \gt 1$$Y$$\lambda$$m=1,2,3$

È interessante notare che per valori maggiori di aumentano le varianze . Intuitivamente, ciò è dovuto a due fenomeni in competizione: la funzione floor è effettivamente binning gruppi di valori che originariamente erano distinti; questo deve far diminuire la varianza . Allo stesso tempo, come abbiamo visto, anche i mezzi stanno cambiando (perché ogni cestino è rappresentato dal suo valore più piccolo); questo deve far sì che un termine uguale al quadrato della differenza di mezzi venga aggiunto di nuovo. L'aumento della varianza per λ di grandi dimensioni aumenta con valori maggiori di m .$\lambda$$\lambda$$m$

Il comportamento della varianza di con m è sorprendentemente complesso. Terminiamo con una rapida simulazione (in ) che mostra cosa può fare. I grafici mostrano la differenza tra la varianza di m ⌊ X / m ⌋ e la varianza di X per Poisson ha distribuito X con vari valori di λ compresi tra 1 e 5000 . In tutti i casi le trame sembrano aver raggiunto i loro valori asintotici a destra.$mY$$m$R$m\lfloor X/m \rfloor$$X$$X$$\lambda$$1$$5000$

set.seed(17)
par(mfrow=c(3,4))
temp <- sapply(c(1,2,5,10,20,50,100,200,500,1000,2000,5000), function(lambda) {
  x <- rpois(20000, lambda)
  v <- sapply(1:floor(lambda + 4*sqrt(lambda)), 
              function(m) var(floor(x/m)*m) - var(x))
  plot(v, type="l", xlab="", ylab="Increased variance", 
       main=toString(lambda), cex.main=.85, col="Blue", lwd=2)
})

$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$$\lambda$

$n$$\lambda / n$$\lambda / n^2$

$\frac12 -\frac{1}{2n}$

$n$ $\sum_i X_i$$X_i$$\lambda_i$$\lambda = \sum_i \lambda_i$

$$P\left\{ \sum_{i=1}^n X_i= k\right\} = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}, ~~ k = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\hat{Y} = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$$k/n$$\exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$$\hat{Y}$$Y = \lfloor \hat{Y} \rfloor$$m$ $$P\{Y = m\} = P\left\{\left\lfloor \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right\rfloor = m\right\} = \exp(-\lambda)\sum_{i=0}^{n-1}\frac{\lambda^{mn+i}}{(mn+i)!}, ~~ m = 0, 1, 2, \ldots,$$ $\lambda$$n$

Y non sarà Poisson. Si noti che le variabili casuali di Poisson assumono valori interi non negativi. Una volta diviso per una costante, si crea una variabile casuale che può avere valori non interi. Avrà ancora la forma del Poisson. È solo che le probabilità discrete possono verificarsi in punti non interi.