Risposte:
Scambiabilità ha lo scopo di catturare la simmetria in un problema, la simmetria in un senso che non richiede indipendenza. Formalmente, una sequenza è scambiabile se la sua distribuzione di probabilità congiunta è una funzione simmetrica dei suoi argomenti. Intuitivamente significa che possiamo scambiare o riordinare le variabili nella sequenza senza cambiare la loro distribuzione congiunta. Ad esempio, ogni sequenza IID (indipendente, distribuita in modo identico) è scambiabile, ma non viceversa. Tuttavia, ogni sequenza intercambiabile è distribuita in modo identico.
Immagina un tavolo con sopra un mazzo di urne, ognuna contenente diverse proporzioni di palline rosse e verdi. Scegliamo un'urna a caso (secondo alcune distribuzioni precedenti), quindi preleviamo un campione (senza sostituzione) dall'urna selezionata.
Si noti che i rossi e i verdi che osserviamo NON sono indipendenti. E forse non è una sorpresa apprendere che la sequenza di rossi e verdi che osserviamo è una sequenza intercambiabile. Ciò che è forse sorprendente è che ogni successione scambiabile si può immaginare in questo modo, per una opportuna scelta di urne e distribuzione a priori. (vedi Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).
Il concetto è invocato in tutti i tipi di luoghi ed è particolarmente utile nei contesti bayesiani perché in tali contesti abbiamo una distribuzione precedente (la nostra conoscenza della distribuzione delle urne sul tavolo) e abbiamo una probabilità che corre (un modello che rappresenta liberamente la procedura di campionamento da una data, fissa, urna). Osserviamo la sequenza di rossi e verdi (i dati) e utilizziamo tali informazioni per aggiornare le nostre convinzioni sulla particolare urna nella nostra mano (cioè il nostro posteriore), o più in generale, le urne sul tavolo.
Le variabili casuali intercambiabili sono particolarmente meravigliose perché se ne abbiamo infinitamente molte di esse, abbiamo tomi di macchine matematiche a portata di mano, non ultimo il Teorema di De Finetti; vedi Wikipedia per un'introduzione.