Qualcuno può spiegare il concetto di "scambiabilità"?


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Vedo il concetto di "scambiabilità" utilizzato in contesti diversi (ad esempio, modelli bayesiani), ma non ho mai capito molto bene il termine.

  1. Cosa significa questo concetto?

  2. In quali circostanze viene invocato questo concetto e perché?

Risposte:


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Scambiabilità ha lo scopo di catturare la simmetria in un problema, la simmetria in un senso che non richiede indipendenza. Formalmente, una sequenza è scambiabile se la sua distribuzione di probabilità congiunta è una funzione simmetrica dei suoi argomenti. Intuitivamente significa che possiamo scambiare o riordinare le variabili nella sequenza senza cambiare la loro distribuzione congiunta. Ad esempio, ogni sequenza IID (indipendente, distribuita in modo identico) è scambiabile, ma non viceversa. Tuttavia, ogni sequenza intercambiabile è distribuita in modo identico.n

Immagina un tavolo con sopra un mazzo di urne, ognuna contenente diverse proporzioni di palline rosse e verdi. Scegliamo un'urna a caso (secondo alcune distribuzioni precedenti), quindi preleviamo un campione (senza sostituzione) dall'urna selezionata.

Si noti che i rossi e i verdi che osserviamo NON sono indipendenti. E forse non è una sorpresa apprendere che la sequenza di rossi e verdi che osserviamo è una sequenza intercambiabile. Ciò che è forse sorprendente è che ogni successione scambiabile si può immaginare in questo modo, per una opportuna scelta di urne e distribuzione a priori. (vedi Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).

Il concetto è invocato in tutti i tipi di luoghi ed è particolarmente utile nei contesti bayesiani perché in tali contesti abbiamo una distribuzione precedente (la nostra conoscenza della distribuzione delle urne sul tavolo) e abbiamo una probabilità che corre (un modello che rappresenta liberamente la procedura di campionamento da una data, fissa, urna). Osserviamo la sequenza di rossi e verdi (i dati) e utilizziamo tali informazioni per aggiornare le nostre convinzioni sulla particolare urna nella nostra mano (cioè il nostro posteriore), o più in generale, le urne sul tavolo.

Le variabili casuali intercambiabili sono particolarmente meravigliose perché se ne abbiamo infinitamente molte di esse, abbiamo tomi di macchine matematiche a portata di mano, non ultimo il Teorema di De Finetti; vedi Wikipedia per un'introduzione.


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(+1) Il presupposto della scambiabilità è anche al centro dei test di permutazione.
chl

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Data la domanda su quando e perché della scambiabilità, il puntatore di chl ai test di permutazione può meritare qualche parola in più. I test di permutazione sono una tecnica non parametrica utilizzata quando la normalità e assunzioni simili sono insostenibili - invece si usa la "assunzione nulla" molto più debole di scambiabilità, si approssima la distribuzione di una statistica test sotto questa assunzione nulla (permutando) e si guarda se il test effettivamente osservato la statistica è estrema rispetto a questa distribuzione nulla. C'è un libro accessibile di P. Good, "Test di ipotesi su permutazione, parametrico e bootstrap".
S. Kolassa - Ripristina Monica il

@Stephan Mi piace questo libro! Tuttavia, la scambiabilità è più debole dell'indipendenza ...
chl

Grazie mille per questa risposta utile, GJK, e per le note sui test di permutazione, @StephanKolassa e chi. Sono confuso riguardo al ruolo svolto dalle urne multiple nell'esempio. La sequenza di rossi e verdi sarebbe scambiabile con una sola urna, giusto? Cosa aggiunge la possibilità di urne multiple (distribuzioni multiple)?
Marte,

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Non mi fiderei di nulla in quel libro di Good. Una volta ho notato quello che pensavo fosse un errore in quel libro, l'ho scritto e ho ricevuto una risposta piuttosto volgare.
kjetil b halvorsen,
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