"Poiché

Breve domanda: perché è vero ??

Domanda lunga:

Molto semplicemente, sto cercando di capire cosa giustifica questa prima equazione. L'autore del libro che sto leggendo (contesto qui se lo si desidera, ma non necessario), afferma quanto segue:

A causa dell'assunto di quasi gaussianità, possiamo scrivere:

$p_{0} (ξ) = A ϕ (ξ) e x p (a_{n + 1} ξ + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) ξ^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (ξ))$ $p_0(\xi) = A \; \phi(\xi) \; exp( a_{n+1}\xi + (a_{n+2} + \frac{1}{2})\xi^2 + \sum_{i=1}^{n} a_i G_i(\xi))$

Dove è il PDF dei dati osservati che presenta la massima entropia, dato che hai solo osservato una serie di aspettative, (numeri semplici) , dove e è il PDF di una variabile gaussiana standardizzata, ovvero 0 media e varianza dell'unità. $p_0(\xi)$ $c_i, i = 1 ... n$ $c_i = \mathbb{E}\{G_i(\xi)\}$ $\phi(\xi)$

Dove tutto ciò sta succedendo è che usa l'equazione di cui sopra come punto di partenza per rendere il PDF, più semplice, e capisco come lo fa, ma non capisco come giustifica l'equazione di cui sopra, cioè il punto di partenza. $p_0(\xi)$

Ho cercato di tenerlo breve per non offuscare nessuno, ma se vuoi ulteriori dettagli per favore fammi sapere nei commenti. Grazie!

— Spacey
fonte

(Nota: ho cambiato il tuo in .) $\xi$ $x$

Per una variabile casuale con densità , se si hanno vincoli $X$ $p$ per , la massima densità di entropia è

\int G_{i} (x) p (x) d x = c_{i},

$\int G_i(x)\,p(x)\,dx=c_i \, ,$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

Dove i

's sono determinati dalla

' s, e

è una costante di normalizzazione.

p_{0} (x) = A \exp (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

a_{i}

$a_i$

c_{i}

$c_i$

A

$A$

In questo contesto, l'approssimazione gaussiana ("quasi gaussianità") significa due cose:

1) Accetti di introdurre due nuovi vincoli: la media di è e la varianza è (diciamo); $X$ $0$ $1$

2) Il corrispondente (vedi sotto) è molto più grande dell'altro . $a_{n+2}$ $a_i$

Questi vincoli aggiuntivi sono rappresentati come

G_{n + 1} (x) = x, c_{n + 1} = 0,

$G_{n+1}(x)=x \, , \qquad c_{n+1}=0 \, ,$

G_{n + 2} (x) = x^{2}, c_{n + 2} = 1,

$G_{n+2}(x)=x^2 \, , \qquad c_{n+2}=1 \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A \exp (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + a_{n + 2} x^{2} + a_{n + 1} x + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)),

$p_0(x)=A\exp\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} + a_{n+2}x^2 + a_{n+1}x + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ,$

p_{0} (x) = A^{'} ϕ (x) \exp (a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x));

$p_0(x)=A'\,\phi(x)\exp\left(a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, ;$

$\exp(t)\approx 1+t$

p_{0} (x) \approx A^{'} ϕ (x) (1 + a_{n + 1} x + (a_{n + 2} + \frac{1}{2}) x^{2} + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} G_{i} (x)) .

$p_0(x) \approx A'\,\phi(x)\left(1+a_{n+1}x + \left(a_{n+2}+\frac{1}{2}\right)x^2 + \sum_{i=1}^n a_iG_i(x)\right) \, .$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

\int p_{0} (x) d x = 1, \int x p_{0} (x) d x = 0, \int x^{2} p_{0} (x) d x = 1

$\int p_0(x)\,dx=1 \, , \qquad \int x \,p_0(x)\,dx=0 \, , \qquad \int x^2 \,p_0(x)\,dx=1$

\int G_{i} (x) p_{0} (x) d x = c_{i}, i = 1, \dots, n,

$\int G_i(x)\, p_0(x)\,dx=c_i \, , \quad i=1,\dots,n \, ,$

A^{'}

$A'$

a_{i}

$a_i$

$G_i$

— zen
fonte

μ = 0

$\mu=0$

σ^{2} = 1

$\sigma^2=1$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (x)

$p_0(x)$

p_{0} (z) \approx ϕ (z) (1 + \sum_{i = 1}^{N} c_{i} F_{i} (z))

$p_0(z) \approx \phi(z) (1 + \sum_{i=1}^{N} c_i F_i(z))$

a_{n + 1} x

$a_{n+1}x$