La distribuzione normale converge in una distribuzione uniforme quando la deviazione standard cresce all'infinito?

La distribuzione normale converge in una certa distribuzione se la deviazione standard cresce senza limiti? mi sembra che il pdf inizi a sembrare una distribuzione uniforme con limiti dati da . È vero?$[-2 \sigma, 2 \sigma]$

Le altre risposte già qui fanno un grande lavoro di spiegare il motivo per camper gaussiana non convergono a qualcosa come la varianza aumenta senza limite, ma voglio sottolineare una proprietà apparentemente uniforme che una tale raccolta di gaussiane fa satisfy che credo possa basta che qualcuno indovini che stanno diventando uniformi, ma ciò non risulta abbastanza forte da concluderlo. $\newcommand{\len}{\text{len}}$

Considera una raccolta di variabili casuali dove . Sia un intervallo fisso di lunghezza finita, e per alcuni definire , ovvero è ma appena spostato da . Per un intervallo definisci come lunghezza di e nota che .X n ∼ N ( 0 , n 2 ) A = [ a 1 , a 2 ] c ∈ R B = A + c B A c I = [ i 1 , i 2 ] len ( I ) = i 2 - i 1 I len $\{X_1,X_2,\dots\}$$X_n \sim \mathcal N(0, n^2)$$A = [a_1,a_2]$$c \in \mathbb R$$B = A +c$$B$$A$$c$$I = [i_1,i_2]$$\len (I) = i_2-i_1$$I$$\len(A) = \len(B)$

Dimostrerò ora il seguente risultato:

Risultato : come .n → $\vert P(X_n \in A) - P(x_n\in B)\vert \to 0$$n \to \infty$

Lo chiamo uniforme perché dice che la distribuzione di ha sempre più intervalli fissi di uguale lunghezza con uguale probabilità, non importa quanto distanti possano essere. Questa è sicuramente una caratteristica molto uniforme, ma come vedremo questo non dice nulla sulla distribuzione effettiva converge in una uniforme.X $X_n$$X_n$

Pf: nota che dove quindi Posso usare il limite (molto approssimativo) che per ottenere X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) P ( X n ∈ A ) = P ( a 1 ≤ n X 1 ≤ a 2 ) = P ( a $X_n = n X_1$$X_1 \sim \mathcal N(0, 1)$=

$$P(X_n \in A) = P(a_1 \leq n X_1 \leq a_2) = P\left(\frac{a_1}{n} \leq X_1 \leq \frac{a_2}n\right)$$ e - x 2 / 2 ≤ 1 $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx.$$ $e^{-x^2/2} \leq 1$= len ( A $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} e^{-x^2/2}\,\text dx \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a_1/n}^{a_2/n} 1\,\text dx$$ $$= \frac{\text{len}(A)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Posso fare la stessa cosa per per ottenere P ( X n ∈ B ) ≤ len ( B $B$

$$P(X_n \in B) \leq \frac{\text{len}(B)}{n\sqrt{2\pi}}.$$

Mettendoli insieme ho come (sto usando la disuguaglianza del triangolo qui).n→

$$\left\vert P(X_n \in A) - P(X_n \in B)\right\vert \leq \frac{\sqrt 2 \text{len}(A) }{n\sqrt{\pi}} \to 0$$ $n\to\infty$

$\square$

In che modo differisce da convergendo su una distribuzione uniforme? Ho appena dimostrato che le probabilità date a due intervalli fissi della stessa lunghezza finita si avvicinano sempre di più, e intuitivamente ciò ha senso che mentre le densità si "appiattiscono" dalle prospettive di e A $X_n$$A$$B$

Ma per far convergere su una distribuzione uniforme, avrei bisogno di per essere proporzionale a per qualsiasi intervallo , e questa è una cosa molto diversa perché questo deve applicarsi a qualsiasi , non solo a uno fissato in anticipo (e come menzionato altrove, questo non è nemmeno possibile per una distribuzione con supporto illimitato). P ( X n ∈ I ) len ( I ) I $X_n$$P(X_n \in I)$$\text{len}(I)$$I$$I$

Un errore comune nella probabilità è pensare che una distribuzione sia uniforme perché sembra visivamente piatta quando tutti i suoi valori sono vicini allo zero. Questo perché tendiamo a vedere che e tuttavia , ovvero un piccolo intervallo attorno a è 1000 volte più probabilmente di un piccolo intervallo attorno a .f ( x ) / f ( y ) = 0,001 / 0,000001 = 1000 x $f(x)=0.001 \approx 0.000001=f(y)$$f(x)/f(y)=0.001/0.000001=1000$$x$$y$

Non è assolutamente uniforme su tutta la linea reale nel limite, poiché non esiste una distribuzione uniforme su . Inoltre non è nemmeno approssimativamente uniforme su [ - 2 σ , 2 σ ] .$(-\infty,\infty)$$[-2\sigma,2\sigma]$

$[-2\sigma,2\sigma]$$[0,\sigma]$$[\sigma,2\sigma]$$P([0,\sigma])\approx 0.68/2= 0.34$$P([\sigma,2\sigma])\approx (0.95-0.68)/2 = 0.135$

$\sigma$$F_\sigma(x) = (1/2)(1+\mbox{erf}(x/\sqrt{2}\sigma)$$\lim_{\sigma\rightarrow\infty} F_\sigma(x) = 1/2$$x$

Il motivo di questa non-convergenza si riduce alla "perdita di massa" è il limite. La funzione limitante della distribuzione normale ha effettivamente "perso" la probabilità (cioè è sfuggita all'infinito). Ciò è legato al concetto di rigidità delle misure , che fornisce le condizioni necessarie affinché una sequenza di variabili casuali converga in un'altra variabile casuale.

La tua affermazione sul pdf inizia ad apparire come una distribuzione uniforme con i limiti forniti da$[−2σ,2σ]$ non è corretta se in modo che corrisponda alla deviazione standard più ampia.$\sigma$

Considera questo grafico di due densità normali centrate su zero. La curva rossa corrisponde a una deviazione standard di e la curva blu a una deviazione standard di , ed è vero che la curva blu è quasi piatta su$1$$10$$[-2,2]$

ma per la curva blu con , dovremmo effettivamente osservarne la forma su . Il ridimensionamento dell'asse e dell'asse di fattori di fornisce questo diagramma successivo e si ottiene esattamente la stessa forma per la densità blu in questo diagramma successivo della densità rossa nel diagramma precedente $\sigma=10$$[-20,20]$$x$$y$$10$

La tua domanda è fondamentalmente imperfetta. La distribuzione normale standard viene ridimensionata in modo che . Quindi per un'altra distribuzione gaussiana ( ) la curva tra i limiti ha la stessa forma della distribuzione normale standard. L'unica differenza è il fattore di ridimensionamento. Quindi, se ridimensionate il gaussiano dividendo per , finirete con la distribuzione normale standard.$\sigma = 1$$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$[-2\sigma^*, 2\sigma^*]$$\sigma^*$

Ora se hai una distribuzione gaussiana ( ) allora sì come , la regione tra diventa sempre più piatta.$\mu = 0, \sigma = \sigma^*$$\sigma^* \rightarrow \infty$$[-2, 2]$