Limiti sulla differenza di variabili casuali correlate

Date due variabili casuali altamente correlate e , vorrei limitare la probabilità che la differenzasupera un certo importo: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Supponiamo per semplicità che:

Il coefficiente di correlazione è noto per essere "alto", ad esempio: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ sono media zero: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (o se è più semplice) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Se semplifica le cose, diciamo che hanno una varianza identica: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Non sono sicuro di quanto sia possibile ricavare un limite dalla differenza date solo le informazioni di cui sopra (di certo non sono riuscito ad arrivare da nessuna parte). Una soluzione specifica (se presente), restrizioni aggiuntive obbligatorie da imporre alle distribuzioni, o semplicemente consigli su un approccio sarebbero grandi.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
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Anche senza quelle ipotesi semplificanti, è possibile ottenere un limite combinando un paio di strumenti consueti:

La varianza della differenza di due variabili correlate . Ci consente di trasformare un problema a due variabili in un problema univariato.
Disuguaglianza di Chebyshev . Mette un limite alla probabilità di superare un determinato valore.

Nel dettaglio:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Secondo la disuguaglianza di Chebyshev, per qualsiasi variabile casuale : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Quindi (e usando quella : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Possiamo usare le ipotesi di semplificazione proposte per ottenere un'espressione più semplice. Quando:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Poi:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

E quindi:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

È interessante notare che questo risultato vale anche se non è piccolo e se la condizione per la correlazione cambia da a , il risultato non cambia (perché è già una disuguaglianza). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
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