Densità precedente non informativa su normale

Bayesian Data Analysis (p. 64) dice, per quanto riguarda un modello normale :

una sensibile vaga densità precedente per e , assumendo una precedente indipendenza dei parametri di posizione e scala, è uniforme su o, equivalentemente,$\mu$$\sigma$$(\mu, \log \sigma)$

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Perché uniform over equivale a ?$p(\mu, \log \sigma)$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$

Perché è un precedente "sensato"?

Sia modo da avere la trasformazione inversa . Ora applichiamo la regola standard per le trasformazioni di variabili casuali per ottenere:$\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$$\sigma^2 = \exp (2\phi)$

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Poiché i parametri sono indipendenti in questo precedente, abbiamo quindi:

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Questo dà la forma dichiarata per la densità precedente impropria. Quanto alla giustificazione del motivo per cui questo priore è ragionevole, vi sono diverse vie di ricorso. La giustificazione più semplice è che vorremmo considerare e uniformi per rappresentare l '"ignoranza" su questi parametri. Prendere il logaritmo della varianza è una trasformazione che assicura che le nostre convinzioni su quel parametro siano invarianti di scala . (Le nostre convinzioni sul parametro medio sono anche invarianti di posizione e scala.) In altre parole, vorremmo che la nostra rappresentazione dell'ignoranza per i due parametri fosse invariante a cambiamenti arbitrari nella scala di misurazione delle variabili.$\mu$$\log \sigma$

Per la derivazione sopra, abbiamo usato un'uniforme impropria prima del parametro varianza log. È possibile ottenere lo stesso risultato in senso limitativo, usando un precedente adeguato per la scala dei tronchi che tende all'uniformità, e trovando il precedente adeguato per la varianza che corrisponde a questo, e quindi prendendo il limite per ottenere il presente varianza impropria prima. Questo è in realtà solo un riflesso del fatto che i priori impropri possono generalmente essere interpretati come limiti dei priori propri.

Vi sono molte altre possibili giustificazioni per questo priore improprio, e queste fanno appello alla teoria della rappresentazione della precedente "ignoranza". C'è una grande letteratura su questo argomento, ma una discussione più breve può essere trovata in Irony e Singpurwalla (1997) (discussione con José Bernardo) che parla dei vari metodi con cui cerchiamo di rappresentare "l'ignoranza". Il precedente improprio con cui si ha a che fare qui è la versione limitante del precedente coniugato per il modello normale, con la varianza precedente per ciascun parametro portato all'infinito.