Il problema della pesca

Supponiamo che tu voglia andare a pescare nel vicino lago dalle 8:00 alle 20:00. A causa della pesca eccessiva, è stata istituita una legge che dice che puoi pescare solo un pesce al giorno. Quando catturi un pesce, puoi scegliere di tenerlo (e quindi tornare a casa con quel pesce), oppure gettarlo di nuovo nel lago e continuare a pescare (ma rischi di sistemarti in seguito con un pesce più piccolo o nessun pesce). Vuoi catturare un pesce il più grande possibile; in particolare, vuoi massimizzare la massa di pesce prevista che porti a casa.

Formalmente, potremmo impostare questo problema come segue: i pesci vengono catturati a una certa velocità (quindi, il tempo necessario per catturare il tuo prossimo pesce segue una distribuzione esponenziale nota) e le dimensioni del pesce catturato seguono una distribuzione (anche conosciuta) . Vogliamo un processo decisionale che, dato il tempo corrente e le dimensioni di un pesce che hai appena pescato, decida se tenere il pesce o buttarlo indietro.

Quindi la domanda è: come dovrebbe essere presa questa decisione? Esiste un modo semplice (o complicato) per decidere quando smettere di pescare? Penso che il problema sia equivalente a determinare, per un dato tempo t, quale massa di pesce prevista un pescatore ottimale porterebbe a casa se iniziasse al tempo t; il processo decisionale ottimale manterrebbe un pesce se e solo se il pesce è più pesante di quella massa prevista. Ma sembra una sorta di autoreferenziale; stiamo definendo la strategia di pesca ottimale in termini di pesca ottimale e non sono del tutto sicuro di come procedere.

stochastic-processes optimal-stopping

— b2coutts
fonte

Dai un'occhiata al problema del segretario su Wikipedia, in particolare la sezione sulla 1 / e-legge della scelta migliore.

— Soakley,

Penso che una differenza chiave qui sia che si presume che sappiamo come tutto è distribuito, mentre la chiave di quella soluzione è che utilizza i primi candidati 1 / e solo per acquisire un po 'di quella conoscenza e definire una buona soglia. Penso che un'idea simile non possa proprio funzionare qui. Potresti immaginare solo derivare una soglia dalle distribuzioni, ma non penso che dovrebbe essere risolto; Penso che la soglia dovrebbe diminuire nel tempo, poiché hai sempre meno tempo per catturare meglio / qualsiasi pesce.

— b2coutts,

@soakley vedi anche la mia risposta alla risposta di Oolooney; il valore (atteso) dell'attesa dipende non solo dalle catture che otterrete in futuro, ma da quali catture prenderà la vostra strategia. Quindi penso che ci sia uno strano aspetto autoreferenziale in questa domanda.

— b2coutts,

Qual è la funzione o il valore che cerchiamo di ottimizzare? Cioè, come pesiamo il rischio e il profitto? Il punto è escogitare un metodo che massimizzi il valore di aspettativa della dimensione del pesce pescato? Stiamo pescando solo un giorno o più giorni, e in quest'ultimo caso come sono correlati i giorni?

— Sesto Empirico

Sappiamo che la distribuzione ... si riferisce solo al tipo di distribuzione o include anche i parametri di distribuzione?

— Sesto Empirico

Sia $\lambda$ il tasso del processo di Poisson e lascia $S(x)=1-F(x)$ dove $F(x)$ è la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione delle dimensioni del pesce.

$t=0$ $g(t)$ $t\le 0$ $(t,0)$ $g(0)=0$ $x$ $t$ $g(t)$

$g(t)$ $(t-dt,t)$ $X>g(t)$

λ d t S (g (t)),

$\lambda dt S(g(t)),$

g (t)

$g(t)$

E (X | X > g (t)) = g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x .

$E(X|X>g(t))=g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx.$

$(t-dt,0)$

g (t - d t) = [λ d t S (g (t))] [g (t) + \frac{1}{S (g (t))} \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x] + [1 - λ d t S (g (t)] g (t) .

$g(t-dt) =[\lambda dt S(g(t))][g(t)+\frac1{S(g(t))}\int_{g(t)}^\infty S(x)dx] + [1-\lambda dt S(g(t)] g(t).$

$g(t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{d g}{d t} = - λ \int_{g (t)}^{\infty} S (x) d x . \end{matrix}

$\frac{dg}{dt}=-\lambda \int_{g(t)}^\infty S(x) dx. \tag{1}$

g (t)

$g(t)$

λ

$\lambda$

\int_{0}^{\infty} S (x) d x

$\int_0^\infty S(x)dx$

$X\sim \exp(\alpha)$ $S(x)=e^{-\alpha x}$

\frac{d g}{d t} = - \frac{λ}{α} e^{- α g (t)}

$\frac{dg}{dt}=-\frac\lambda\alpha e^{-\alpha g(t)}$

g (t) = \frac{1}{α} \ln (1 - λ t),

$g(t) = \frac1\alpha\ln(1-\lambda t),$

t \leq 0

$t\le 0$

α = λ = 1

$\alpha=\lambda=1$

g (- 12)

$g(-12)$

g <- function(t,lambda, rate) {
  1/rate*log(1-lambda*t)
}
catch <- function(daylength=12, lambda=1, rfn=runif, gfn=g, ...) {
  n <- rpois(1,daylength*lambda)
  starttime <- -daylength
  arrivaltimes <- sort(runif(n,starttime,0))
  X <- rfn(n,...)
  j <- match(TRUE, X > gfn(arrivaltimes,lambda,...))
  if (is.na(j))
    0
  else
    X[j]
}
nsim <- 1e+5
catches <- rep(0,nsim)
for (i in 1:nsim)
  catches[i] <- catch(gfn=g,rfn=rexp,rate=1,lambda=1)
> mean(catches)
[1] 2.55802
> g(-12,1,1)
[1] 2.564949

$X \sim U(0,1)$

g (t) = 1 - \frac{1}{1 - λ t / 2}

$g(t) = 1 - \frac1{1-\lambda t/2}$

g (t)

$g(t)$

t \to - \infty

$t\rightarrow -\infty$

— Jarle Tufto
fonte

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

g (t)

$g(t)$

(t, 0)

$(t,0)$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

g^{'} (t) = 1 - \frac{e^{λ t} - 1}{λ t}

$g'(t)=1-\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda t}$

g^{'} (t)

$g'(t)$