Supponiamo che io abbia una miscela di molti gaussiani finiti con pesi, mezzi e deviazioni standard noti. I mezzi non sono uguali. La deviazione media e standard della miscela può essere calcolata, ovviamente, poiché i momenti sono medie ponderate dei momenti dei componenti. La miscela non è una distribuzione normale, ma quanto è lontana dalla normalità?
L'immagine sopra mostra le densità di probabilità per una miscela gaussiana con medie componenti separate da deviazioni standard (dei componenti) e una singola gaussiana con la stessa media e varianza.
Qui i mezzi sono separati da deviazione standard ed è più difficile separare la miscela dal gaussiano a occhio.
Motivazione: Non sono d'accordo con alcune persone pigre su alcune distribuzioni reali che non hanno misurato e che presumono vicine alla normalità perché sarebbe carino. Anch'io sono pigro. Non voglio nemmeno misurare le distribuzioni. Voglio essere in grado di dire che le loro assunzioni sono incoerenti, perché stanno dicendo che una miscela finita di gaussiani con mezzi diversi è un gaussiano che non è giusto. Non voglio solo dire che la forma asintotica della coda è sbagliata perché si tratta solo di approssimazioni che si suppone siano ragionevolmente accurate entro poche deviazioni standard della media. Vorrei poter dire che se i componenti sono ben approssimati dalle normali distribuzioni, la miscela non lo è, e vorrei essere in grado di quantificarlo.
Non conosco la giusta distanza dalla normalità da usare: supremum di differenze tra CDF, distanza , distanza del movimento terra, divergenza KL, ecc. Sarei felice di avere dei limiti in termini di uno di questi, oppure altre misure. Sarei felice di conoscere la distanza dal gaussiano con la stessa media e deviazione standard della miscela, o la distanza minima con qualsiasi gaussiano. Se aiuta, puoi limitare il caso in cui la miscela è di gaussiani in modo che il peso più piccolo sia maggiore di . 2 1 / 4