Una stima imparziale della mediana

Supponiamo di avere una variabile casuale $X$ supportata su $[0,1]$ da cui possiamo estrarre campioni. Come possiamo ottenere una stima imparziale della mediana di $X$ ?

Naturalmente, possiamo generare alcuni campioni e prendere la mediana del campione, ma capisco che questo non sarà in generale imparziale.

Nota: questa domanda è collegata, ma non identica, alla mia ultima domanda , nel qual caso $X$ potrebbe essere campionato solo approssimativamente.

Tale stimatore non esiste.

L'intuizione è che la mediana può rimanere fissa mentre spostiamo liberamente la densità di probabilità su entrambi i lati, in modo che qualsiasi stimatore il cui valore medio è la mediana per una distribuzione avrà una media diversa per la distribuzione alterata, rendendola distorta. La seguente esposizione dà un po 'più di rigore a questa intuizione.

Facciamo il distribuzioni avente mediane uniche m , in modo che per definizione F ( m ) ≥ 1 / 2 e F ( x ) < 1 / 2 per tutti x < m . Fissare una dimensione del campione n ≥ 1 e supporre che t : [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] stima m . (Basterà che $F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$essere delimitata solo, ma di solito non si considera seriamente stimatori che producono valori ovviamente impossibile) Facciamo. nessun ipotesi sulla ; non deve nemmeno essere continuo da nessuna parte.$t$

Il significato di essere imparziale (per questa dimensione fissa del campione) è questo$t$

per qualsiasi campione IID con . Un "stimatore" t è uno con questa proprietà per tutti i quali F .$X_i \sim F$$t$$F$

Supponiamo che esista uno stimatore imparziale. Deriveremo una contraddizione applicandola a un insieme di distribuzioni particolarmente semplice. Considera le distribuzioni aventi queste proprietà:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. ;$0 \le x \lt y \le 1$

2. ;$0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$

3. ;$x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$

4. ;$\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$

5. ; e$\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$

6. è uniforme su [ m - ε , m + ε ] .$F$$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

These distributions place probability $(1-\varepsilon)/2$ at each of $x$ and $y$ and a tiny amount of probability symmetrically placed around $m$ between $x$ and $y$. This makes $m$ the unique median of $F$. (If you are concerned that this is not a continuous distribution, then convolve it with a very narrow Gaussian and truncate the result to $[0,1]$: the argument will not change.)

Ora, per qualsiasi stimatore mediano putativo , una semplice stima mostra che E [ t ( X 1 , X 2 , ... , X n ) ] è strettamente all'interno di ε della media dei valori di 2 n t ( x 1 , x 2 , ... , x n ) dove x i variare su tutte le possibili combinazioni di x ed y . Tuttavia, possiamo variare $t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$tra e y - ε , un cambiamento di almeno ε (in virtù delle condizioni 2 e 3). Quindi esiste una m , e da cui una corrispondente distribuzione F x , y , m , ε , per la quale questa aspettativa non è uguale alla mediana, QED.$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$

Finding an unbiased estimator without having a parametric model would be difficult! But you could use bootstrapping, and use that to correct the empirical median to get an approximately unbiased estimator.

I believe quantile regression will give you a consistent estimator of the median. Given the model $Y = \alpha + u$. And you want to estimate $\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$ since $\alpha$ is a constant. All you need is the $\text{med}(u) = 0$ which should be true so long as you have independent draws. However, as far as unbiasedness, I don't know. Medians are difficult.