Perché i coefficienti di regressione logistica esponenziale sono considerati "odds ratio"?

La regressione logistica modella le probabilità del registro di un evento come una serie di predittori. Cioè, log (p / (1-p)) dove p è la probabilità di un risultato. Pertanto, l'interpretazione dei coefficienti di regressione logistica grezza per alcune variabili (x) deve essere sulla scala delle probabilità del log. Cioè, se il coefficiente per x = 5, allora sappiamo che una variazione di 1 unità in x corrisponde a una variazione di 5 unità sulla scala delle probabilità del log che si verificherà un risultato.

Tuttavia, vedo spesso le persone interpretare i coefficienti di regressione logistica esponenziati come rapporti di probabilità. Tuttavia, chiaramente exp (log (p / (1-p))) = p / (1-p), che è una probabilità. Per quanto ho capito, un odds ratio è la probabilità che si verifichi un evento (ad es. P / (1-p) per l'evento A) rispetto alle probabilità che si verifichi un altro evento (ad es. P / (1-p) per l'evento B).

Cosa mi sto perdendo qui? Sembra che questa interpretazione comune dei coefficienti di regressione logistica esponenziale non sia corretta.

@La risposta di Laconic è ottima e completa, secondo me. Qualcosa che volevo aggiungere è che i coefficienti originali descrivono una differenza nelle probabilità del log per due unità che differiscono di 1 nel predittore. Ad esempio, per un coefficiente su di 5, possiamo dire che la differenza nelle probabilità del log tra due unità che differiscono su per 1 è 5. Matematicamente,$X$$X$

$$\beta = \log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))$$

Quando esponi , ottieni$\beta$

$$\exp(\beta) = \exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1))-\log(\text{odds}(p|X=x_0))) \\ = \frac{\exp(\log(\text{odds}(p|X=x_0+1)))}{\exp(\log(\text{odds}((p|X=x_0)))} \\ = \frac{\text{odds}(p|X=x_0+1)}{\text{odds}(p|X=x_0))}$$

che è un rapporto di probabilità, un rapporto di probabilità.

$X$$X'$$x_i$$\beta$

$p_1 = \frac{1}{1 + \exp(-X \beta)}$$\frac{p_1}{1-p_1} = \exp(X \beta)$

$p_2 = \frac{1}{1 + \exp(-X' \beta)}$$\frac{p_2}{1-p_2} = \exp(X' \beta) = \exp(X \beta + \beta_i)$

$\exp(\beta_i)$