Qual è il valore atteso del logaritmo della distribuzione gamma?

Se il valore atteso di è , qual è il valore atteso di ? Può essere calcolato analiticamente? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

La parametrizzazione che sto usando è la forma-frequenza.

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
fonte

Se , quindi secondo mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], dove PolyGamma indica la funzione digamma

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— wolfies

Dovrei aggiungere che non fornisci il formato pdf della tua variabile Gamma e dato che riferisci che la media è (mentre per me sarebbe , sembra che tu stia usando una notazione diversa da me, dove your

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— wolfies

Vero, scusa. La parametrizzazione che sto usando è la forma-frequenza.

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$ Proverò a trovarlo per questa parametrizzazione. Potresti suggerire la domanda per Mathematica / WolframAlpha?

— Stefano Vespucci,

Vedi anche Johnson, Lotz e Balakrishna (1994) distribuzioni univariate continue Vol 1 2nd Ed. pagg. 337-349.

— Björn,

Vedi anche Wikipedia: Gamma Distribution # Aspettativa e varianza logaritmica

— Glen_b -Reinstate Monica

Risposte:

Questo (forse sorprendentemente) può essere fatto con semplici operazioni elementari (impiegando il trucco preferito di Richard Feynman di differenziare sotto il segno integrale rispetto a un parametro).

Supponiamo che $X$ abbia una distribuzione $\Gamma(\alpha,\beta)$ e desideriamo trovare l'aspettativa di $Y=\log(X).$ Innanzitutto, poiché $\beta$ è un parametro di scala, il suo effetto sarà quello di spostare il logaritmo di $\log\beta.$ (Se si utilizza $\beta$ come parametro di velocità , come nella domanda, si sposterà il logaritmo di $-\log\beta.$ ) Questo ci permette di lavorare con il caso $\beta=1.$

Dopo questa semplificazione, l'elemento probabilità di $X$ è

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

dove $\Gamma(\alpha)$ è la costante normalizzante

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Sostituendo $x=e^y,$ che comporta $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ ottiene l'elemento probabilità di $Y$ ,

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

I valori possibili di $Y$ ora spaziano tutti i numeri reali $\mathbb{R}.$

Poiché $f_Y$ deve integrarsi nell'unità, otteniamo (banalmente)

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Si noti che $f_Y(y)$ è una funzione differenziabile di $\alpha.$ Un semplice calcolo dà

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

Il passo successivo sfrutta la relazione ottenuta dividendo entrambi i lati di questa identità per $\Gamma(\alpha),$ esponendo così l'oggetto stesso che dobbiamo integrare per trovare l'attesa; vale a dire, $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

la derivata logaritmica della funzione gamma (aka " poligamma "). L'integrale è stato calcolato utilizzando l'identità $(1).$

La reintroduzione del fattore $\beta$ mostra che il risultato generale è

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

per una parametrizzazione della scala (dove la funzione di densità dipende da $x/\beta$ ) o

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

per una parametrizzazione della frequenza (in cui la funzione di densità dipende da $x\beta$ ).

— whuber
fonte

Con la funzione poligamma intendi di quale ordine (es. 0,1) essendo un digamma (come sottolineato da @wolfies), trigamma?

— Stefano Vespucci,

@Stefano intendo la derivata logaritmica di gamma, come affermato. Ciò significa

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

La risposta di @whuber è abbastanza bella; In sostanza riaffermerò la sua risposta in una forma più generale che collega (a mio avviso) meglio con la teoria statistica e che chiarisce il potere dell'intera tecnica.

Considera una famiglia di distribuzioni $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ che costituiscono una famiglia esponenziale , nel senso che ammettono una densità

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$ rispetto a qualche misura dominante comune (di solito, Lebesgue o misura di conteggio). Differenziare entrambi i lati di

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$ rispetto a

θ

$\theta$ arriviamoall'equazione delpunteggio

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$ dove

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ è lafunzione scoree abbiamo definito

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ . Nel caso di una famiglia esponenziale, abbiamo

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$ dove

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$ ; questa è talvolta chiamatafunzione cumulativa, poiché evidentemente è strettamente correlata alla funzione di generazione cumulativa. Segue ora da

(†)

$(\dagger)$ che

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$ .

Ora mostriamo che questo ci aiuta a calcolare le aspettative richieste. Possiamo scrivere la densità gamma con $\beta$ fisso come una famiglia esponenziale

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— tipo
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+1 Grazie per aver sottolineato questa bella generalizzazione.

— whuber