Teorema di Bayes modificato di XKCD: in realtà un po 'ragionevole?

So che proviene da un fumetto famoso per aver approfittato di alcune tendenze analitiche , ma in realtà sembra ragionevole dopo alcuni minuti di fissazione. Qualcuno può descrivere per me cosa sta facendo questo " teorema di Bayes modificato "?

Bene, distribuendo il termine , otteniamo che possiamo interpretare come la Legge della probabilità totale applicata all'evento "stai usando correttamente le statistiche bayesiane". Quindi, se si utilizza correttamente statistica bayesiana, poi si recupera la legge di Bayes' (la frazione sinistra sopra) e se non si è, allora si ignorano i dati e basta usare la tua prima su .$P(H)$

Suppongo che questo sia un contraccolpo contro la critica secondo cui, in linea di principio, i bayesiani possono adeguare il precedente per sostenere qualsiasi conclusione desiderino, mentre i bayesiani sostengono che non è così che funzionano le statistiche bayesiane.

(E sì, avete fatto con successo secchione-snipe me. Non sono né un matematico né un fisico, però, quindi non sono sicuro di quanti punti valgo.)

Che ci crediate o no, questo tipo di modello si presenta di tanto in tanto in modelli statistici molto seri, specialmente quando si tratta di fusione dei dati, cioè cercando di combinare l'inferenza da più sensori cercando di fare l'inferenza su un singolo evento.

Se un sensore funziona male, può distorcere notevolmente l'inferenza fatta quando si cerca di combinare i segnali da più fonti. È possibile rendere un modello più solido a questo problema includendo una piccola probabilità che il sensore stia semplicemente trasmettendo valori casuali, indipendentemente dall'effettivo evento di interesse. Ciò ha come risultato che se 90 sensori indicano debolmente è vero, ma 1 sensore indica fortemente che è vero, dovremmo comunque concludere che$A$$B$$A$è vero (vale a dire, la probabilità posteriore che questo sensore si accenda in modo errato diventa molto alta quando ci rendiamo conto che contraddice tutti gli altri sensori). Se la distribuzione dei guasti è indipendente dal parametro su cui vogliamo dedurre, allora se la probabilità posteriore che si tratti di un guasto è alta, le misure di quel sensore hanno un effetto molto scarso sulla distribuzione posteriore per il parametro di interesse; in effetti, l'indipendenza se la probabilità posteriore di fallimento è 1.

È questo un modello generale che dovrebbe essere preso in considerazione quando si tratta di inferenza, cioè dovremmo sostituire il teorema di Bayes con il teorema di Bayes modificato quando facciamo statistiche bayesiane? No. Il motivo è che "usare correttamente le statistiche bayesiane" non è solo binario (o, se lo è, è sempre falso). Qualsiasi analisi avrà gradi di ipotesi errate. Affinché le tue conclusioni siano completamente indipendenti dai dati (che è implicito nella formula), devi fare errori estremamente gravi. Se "utilizzare erroneamente le statistiche bayesiane" a qualsiasi livello significasse che la tua analisi fosse completamente indipendente dalla verità, l'uso delle statistiche sarebbe del tutto inutile. Tutti i modelli sono sbagliati ma alcuni sono utili e tutto il resto.