I prodotti di camper intercambiabili sono intercambiabili?

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Supponi che e sono due variabili casuali che hanno componenti binari RV come componenti (pertanto ) ed entrambi ( e ) sono scambiabili, ovvero

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, UN, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (X_{1}, . . ., X_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (X_{1}, . . ., X_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

e

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ per tutte le permutazioni .

σ

$\sigma$

La mia domanda è se sostiene che è scambiabile? $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$

O incorniciato diversamente quali ipotesi sono necessarie affinché possa essere scambiato? $Z$

bayesian exchangeability

— Sebastian
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Sembra che ci sia almeno un errore tipografico nella tua domanda: intendi davvero che l'ultimo componente di è " ?" La notazione è opaca: stai affermando che è una variabile casuale con componenti binari e è una variabile casuale i cui componenti sono funzioni binarie di -vettori binari ? Quando affermi un problema in modo astratto, (1) è fondamentale che tu ottenga tutto esattamente nel modo giusto e (2) invece dovresti considerare di pubblicarlo sul sito di matematica.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

— whuber

Grazie per averlo segnalato. Chiarirò la notazione

— Sebastian,

6

Il prodotto non deve essere sostituibile. Il seguente controesempio mostrerà cosa può andare storto e perché.

Specificheremo le distribuzioni congiunte di e di e assumeremo che ciascuna di queste variabili casuali bivariate sia indipendente. Pertanto, sarà scambiabile a condizione che siano distribuiti in modo identico e allo stesso modo per Tutte le variabili saranno variabili di Bernoulli: per definizione, le loro probabilità saranno concentrate sull'insieme $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

Sia e per $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

Poiché tutte le distribuzioni marginali sono Bernoulli vale il presupposto della scambiabilità marginale. Ma ora calcola che e mostrando che i prodotti hanno distribuzioni diverse (e quindi non possono essere scambiabili). $(1/2),$ $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Ciò dimostra che la distribuzione congiunta è importante.

Tuttavia, le distribuzioni congiunte potrebbero differire, ma i prodotti potrebbero essere scambiabili, quindi la scambiabilità delle variabili casuali bivariate , sebbene una condizione sufficiente per la scambiabilità dei prodotti non è una condizione necessaria. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Un esempio è dato dalle variabili ternarie con valori in Ad esempio, considerare le seguenti probabilità: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

e

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

È semplice verificare che le distribuzioni marginali di assegnino pari probabilità da a le distribuzioni marginali di abbiano vettori di probabilità e che il la distribuzione di è uguale a quella di Nota che hanno distribuzioni diverse, perché $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Quindi sono intercambiabili, sono intercambiabili, sono intercambiabili, ma non sono scambiabili. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

— whuber
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2

No. Supponi che lo spazio campione sia composto da tre outomes ugualmente probabili per i quali assume valori di e per i quali assume valori di Quindi sono intercambiabili, così come . Ma i valori corrispondenti di sono quindi chiaramente non lo sono sostituibile. $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

— Jarle Tufto
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