I prodotti di camper intercambiabili sono intercambiabili?


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Supponi che e sono due variabili casuali che hanno componenti binari RV come componenti (pertanto ) ed entrambi ( e ) sono scambiabili, ovvero

X=(X1,...,Xn),:(Ω,A,P)({0,1}n,2{0,1}n)
Y=(Y1,...,Yn):(Ω,UN,P)({0,1}n,2{0,1}n)
Xio(ω){0,1},Yio(ω){0,1}XY
P((X1,...,Xn)=(X1,...,Xn))=P((Xσ(1),...,Xσ(n))=(X1,...,Xn))

e

P((Y1,...,Yn)=(y1,...,yn))=P((Yσ(1),...,Yσ(n))=(y1,...,yn))
per tutte le permutazioni .σ

La mia domanda è se sostiene che è scambiabile?Z=(X1Y1,...,XnYn)

O incorniciato diversamente quali ipotesi sono necessarie affinché possa essere scambiato?Z


Sembra che ci sia almeno un errore tipografico nella tua domanda: intendi davvero che l'ultimo componente di è " ?" La notazione è opaca: stai affermando che è una variabile casuale con componenti binari e è una variabile casuale i cui componenti sono funzioni binarie di -vettori binari ? Quando affermi un problema in modo astratto, (1) è fondamentale che tu ottenga tutto esattamente nel modo giusto e (2) invece dovresti considerare di pubblicarlo sul sito di matematica. ZYnYnXYn
whuber

Grazie per averlo segnalato. Chiarirò la notazione
Sebastian,

Risposte:


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Il prodotto non deve essere sostituibile. Il seguente controesempio mostrerà cosa può andare storto e perché.

Specificheremo le distribuzioni congiunte di e di e assumeremo che ciascuna di queste variabili casuali bivariate sia indipendente. Pertanto, sarà scambiabile a condizione che siano distribuiti in modo identico e allo stesso modo per Tutte le variabili saranno variabili di Bernoulli: per definizione, le loro probabilità saranno concentrate sull'insiemeP1(X1,Y1)P2(X2,Y2)XiYi.{0,1}.

Sia e perP1(0,0)=P1(1,1)=1/2P2(x,y)=1/4x,y{0,1}.

Poiché tutte le distribuzioni marginali sono Bernoulli vale il presupposto della scambiabilità marginale. Ma ora calcola che e mostrando che i prodotti hanno distribuzioni diverse (e quindi non possono essere scambiabili).(1/2),Pr(X1Y1=0)=1/2Pr(X2Y2=0)=3/4,

Ciò dimostra che la distribuzione congiunta è importante.

Tuttavia, le distribuzioni congiunte potrebbero differire, ma i prodotti potrebbero essere scambiabili, quindi la scambiabilità delle variabili casuali bivariate , sebbene una condizione sufficiente per la scambiabilità dei prodotti non è una condizione necessaria.(Xi,Yi)XiYi,

Un esempio è dato dalle variabili ternarie con valori in Ad esempio, considerare le seguenti probabilità:{1,0,1}.

P1((1,y))=1/6(y{1,0,1});P1((1,1))=P1((1,1))=1/4

e

P2((x,y))=P1((x,y)).

È semplice verificare che le distribuzioni marginali di assegnino pari probabilità da a le distribuzioni marginali di abbiano vettori di probabilità e che il la distribuzione di è uguale a quella di Nota che hanno distribuzioni diverse, perchéXi1/2±1,Yi(5/12,1/6,5/12),XiYiYi.(Xio,Yio)

P1((-1,0))=1/60=P2((-1,0)).

Quindi sono intercambiabili, sono intercambiabili, sono intercambiabili, ma non sono scambiabili.XioYioXioYio(Xio,Yio)


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No. Supponi che lo spazio campione sia composto da tre outomes ugualmente probabili per i quali assume valori di e per i quali assume valori di Quindi sono intercambiabili, così come . Ma i valori corrispondenti di sono quindi chiaramente non lo sono sostituibile.X

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Y
(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0).
X1,X2,X3Y1,Y2,Y3Z=(X1Y1,...,X3Y3)
(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)
Z1,Z2,Z3

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