Il problema di Monty Hall: dove fallisce la nostra intuizione?

Da Wikipedia:

Supponiamo che tu sia in uno spettacolo di gioco e ti venga data la scelta di tre porte: dietro una porta c'è una macchina; dietro gli altri, le capre. Scegli una porta, dì n. 1, e l'host, che sa cosa c'è dietro le porte, apre un'altra porta, dì n. 3, che ha una capra. Poi ti dice "Vuoi scegliere la porta n. 2?" È a tuo vantaggio cambiare la tua scelta?

La risposta è, ovviamente, sì - ma è incredibilmente non inventiva. Quale incomprensione hanno la maggior parte delle persone riguardo alla probabilità che ci porta a grattarci la testa - o meglio a dirlo; quale regola generale possiamo togliere da questo enigma per allenare meglio la nostra intuizione in futuro?

Considera due semplici varianti del problema:

1. Nessuna porta viene aperta per il concorrente. L'host non offre alcun aiuto nella scelta di una porta. In questo caso è ovvio che le probabilità di scegliere la porta corretta sono 1/3.
2. Prima che al concorrente venga chiesto di avventurarsi in un'ipotesi, l'ospite apre una porta e rivela una capra. Dopo che l'ospite rivela una capra, il concorrente deve scegliere la macchina dalle due porte rimanenti. In questo caso è ovvio che la probabilità di scegliere la porta corretta è 1/2.

Perché un concorrente sappia che la probabilità della sua scelta della porta sia corretta, deve sapere quanti risultati positivi sono disponibili per lui e dividere quel numero per la quantità di risultati possibili. A causa dei due semplici casi descritti sopra, è molto naturale pensare a tutti i possibili risultati disponibili come il numero di porte tra cui scegliere e la quantità di risultati positivi come il numero di porte che nascondono un'auto. Dato questo presupposto intuitivo, anche se l'ospite apre una porta per rivelare una capra dopo che il concorrente ha fatto un'ipotesi, la probabilità che una delle due porte contenga un'auto rimane 1/2.

In realtà, la probabilità riconosce una serie di possibili risultati più grandi delle tre porte e riconosce una serie di risultati positivi che è più grande della singola porta con l'auto. Nell'analisi corretta del problema, l'host fornisce al concorrente nuove informazioni facendo una nuova domanda da affrontare: qual è la probabilità che la mia ipotesi originale sia tale che le nuove informazioni fornite dall'host sono sufficienti per informarmi della corretta porta? Nel rispondere a questa domanda, l'insieme dei risultati positivi e l'insieme dei possibili risultati non sono porte e automobili tangibili, ma piuttosto disposizioni astratte delle capre e dell'auto. I tre possibili risultati sono le tre possibili disposizioni di due capre e una macchina dietro tre porte. I due risultati positivi sono i due possibili accordi in cui la prima ipotesi del concorrente è falsa. In ognuna di queste due disposizioni, le informazioni fornite dall'host (una delle due porte rimanenti è vuota) è sufficiente per consentire al concorrente di determinare la porta che nasconde l'auto.

In sintesi:

Abbiamo la tendenza a cercare una semplice mappatura tra le manifestazioni fisiche delle nostre scelte (le porte e le macchine) e il numero di possibili risultati e risultati desiderati in una questione di probabilità. Funziona bene nei casi in cui non vengono fornite nuove informazioni al concorrente. Tuttavia, se al concorrente vengono fornite maggiori informazioni (ovvero una delle porte che non hai scelto non è certamente un'auto), questa mappatura si rompe e la domanda corretta da porre si rivela più astratta.

Trovo che le persone trovino la soluzione più intuitiva se la si cambia in 100 porte, chiudendo prima, in secondo luogo, a 98 porte. Allo stesso modo per 50 porte, ecc.

Per rispondere alla domanda originale : la nostra intuizione fallisce a causa della narrazione. Mettendo in relazione la storia nello stesso ordine della sceneggiatura televisiva, ci confondiamo. Diventa molto più semplice se pensiamo a cosa accadrà in anticipo. Il maestro del quiz rivelerà una capra, quindi la nostra migliore possibilità è quella di selezionare una porta con una capra e poi cambiare. La trama pone molta enfasi sulla perdita causata dalla nostra azione in quella su tre possibilità che ci capita di selezionare l'auto.

La risposta originale:

Il nostro obiettivo è eliminare entrambe le capre. Lo facciamo contrassegnando noi stessi una capra. Il quizmaster è quindi costretto a scegliere tra rivelare l'auto o l'altra capra. Rivelare la macchina è fuori discussione, quindi il quizmaster rivelerà ed eliminerà l'unica capra di cui non eravamo a conoscenza. Passiamo quindi alla porta rimanente, eliminando così la capra che abbiamo contrassegnato con la nostra prima scelta e otteniamo l'auto.

Questa strategia fallisce solo se non contrassegniamo una capra, ma l'auto invece. Ma è improbabile: ci sono due capre e una sola macchina.

Quindi abbiamo la possibilità di 2 su 3 per vincere la macchina.

La risposta non è: "certo SÌ!" La risposta corretta è "Non lo so, puoi essere più specifico?"

L'unico motivo per cui pensi che sia corretto, è perché lo ha detto Marliyn vos Savant. La sua risposta originale alla domanda (sebbene la domanda fosse ampiamente conosciuta prima di lei) apparve sulla rivista Parade il 9 settembre 1990 . scrisse che la risposta "corretta" a questa domanda era cambiare porta, perché cambiare porta ti dava una maggiore probabilità di vincere la macchina (2/3 invece di 1/3). Ha ricevuto molte risposte da dottorandi di matematica e altre persone intelligenti che hanno detto che aveva torto (anche se molti di loro erano anche errati).

Supponiamo che tu sia in uno spettacolo di gioco e che ti venga data la scelta tra tre porte. Dietro una porta c'è un'auto, dietro le altre, capre. Scegli una porta, dici # 1, e l'host, che sa cosa c'è dietro le porte, apre un'altra porta, dice # 3 , che ha una capra. Ti dice "Vuoi scegliere la porta n. 2?" È a tuo vantaggio cambiare la tua scelta di porte? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Ho coraggioso la parte importante di questa domanda logica. Ciò che è ambiguo in questa affermazione è:

Monty Hall apre sempre una porta? (Quale sarebbe a tuo vantaggio cambiare porta se aprisse una porta perdente solo quando sceglievi una porta vincente? Risposta : No)

Monty Hall apre sempre una porta perdente ? (La domanda specifica che sa dove si trova la macchina, e questa volta in particolare ha mostrato una capra dietro una. Quali sarebbero le tue possibilità se aprisse una porta a caso? Ad esempio la domanda di Monty Fall o cosa succede se a volte sceglie di mostrare le porte vincenti .)

Monty Hall apre sempre una porta che non hai scelto?

Le basi di questo puzzle di logica sono state ripetute più di una volta e molte volte non sono state specificate abbastanza bene da dare la risposta "corretta" di 2/3.

Un negoziante dice che ha due nuovi beagle da mostrare, ma non sa se sono maschi, femmine o una coppia. Le dici che vuoi solo un maschio e lei telefona al tipo che sta facendo loro il bagno. "Almeno uno è un maschio?" gli chiede. "Sì!" ti informa con un sorriso. Qual è la probabilità che l'altro sia un maschio? - Stephen I. Geller, Pasadena, California

L'altro guardò entrambi i cani prima di rispondere "Sì", o prese un cane a caso e scoprì che era un maschio e poi rispose "Sì".

Dì che una donna e un uomo (che non hanno parentela) hanno due figli ciascuno. Sappiamo che almeno uno dei figli della donna è un maschio e che il figlio maggiore dell'uomo è un maschio. Puoi spiegare perché le probabilità che la donna abbia due ragazzi non equivalgono a quelle che l'uomo ha due ragazzi? Il mio insegnante di algebra insiste sul fatto che la probabilità è maggiore che l'uomo abbia due ragazzi, ma penso che le possibilità possano essere le stesse. Cosa pensi?

Come facciamo a sapere che le donne hanno almeno un ragazzo? Un giorno abbiamo guardato oltre il recinto e ne abbiamo visto uno? ( Risposta: 50%, uguale all'uomo )

La domanda ha persino fatto scattare il nostro Jeff Atwood . Ha posto questa domanda :

Diciamo, ipoteticamente parlando, hai incontrato qualcuno che ti ha detto di avere due figli e uno di loro è una ragazza. Quali sono le probabilità che quella persona abbia un maschio e una femmina?

Jeff continua sostenendo che era una domanda semplice, posta in un linguaggio semplice e ignora le obiezioni di alcuni che affermano che la domanda è formulata in modo errato se si desidera che la risposta sia 2/3.

Ancora più importante, tuttavia, è il motivo per cui la donna si è offerta volontaria delle informazioni. Se stava parlando come fanno le persone normali , quando qualcuno dice "uno di loro è una ragazza", inevitabilmente l'altro è un ragazzo. Se dobbiamo supporre che questa sia una domanda logica, con l'intento di farci inciampare, dovremmo chiedere che la domanda sia definita più chiaramente. La donna ha offerto volontariamente il sesso di uno dei suoi figli, selezionato casualmente, o sta parlando del set dei suoi due figli?

È chiaro che la domanda è formulata male, ma la gente non se ne rende conto. Quando vengono poste domande simili, in cui le probabilità sono molto maggiori di cambiare, le persone o si rendono conto che deve essere un trucco (e mettono in discussione il motivo dell'host), o ottengono la risposta "corretta" del passaggio come nella domanda delle cento porte . Ciò è ulteriormente supportato dal fatto che ai medici quando viene loro chiesto in merito alla probabilità che una donna abbia una particolare malattia dopo essere risultata positiva (devono determinare se ha la malattia o se è un falso positivo), sono più bravi ad arrivare al risposta corretta, a seconda di come viene formulata la domanda. C'è un meraviglioso discorso TED che a metà strada copre proprio questo caso.

Ha descritto le probabilità associate a un test del cancro al seno: l'1% delle donne testate ha la malattia e il test è accurato al 90%, con un tasso di falsi positivi del 9%. Con tutte queste informazioni, cosa dici a una donna che risulta positiva alla probabilità di avere la malattia?

Se aiuta, ecco la stessa domanda formulata in un altro modo:

100 su 10.000 donne di quarant'anni che partecipano allo screening di routine hanno il cancro al seno. 90 donne su 100 con carcinoma mammario otterranno una mammografia positiva. 891 su 9.900 donne senza carcinoma mammario riceveranno anche una mammografia positiva. Se 10.000 donne in questa fascia di età vengono sottoposte a screening di routine, su quale percentuale di donne con mammografie positive avrà effettivamente il cancro al seno?

Modificherei leggermente ciò che Graham Cookson ha detto. Penso che la cosa veramente cruciale che le persone trascurano non sia la loro prima scelta, ma la scelta dell'ospite e l'assunto che l'ospite si sia assicurato di non rivelare la macchina.

In effetti, quando discuto questo problema in una classe, lo presento in parte come un caso di studio per chiarire le tue ipotesi. È a tuo vantaggio cambiare se l'host si sta assicurando di rivelare solo una capra . D'altra parte, se l'host ha scelto casualmente tra le porte 2 e 3 e si è rivelato rivelare una capra, allora non c'è alcun vantaggio nel passare.

(Naturalmente, il risultato pratico è che se non si conosce la strategia dell'host, è necessario passare comunque.)

Questo non dà una regola generale, ma penso che uno dei motivi per cui è un enigma avvincente sia che la nostra intuizione non gestisca molto bene la probabilità condizionata. Ci sono molti altri puzzle di probabilità che giocano sullo stesso fenomeno . Dal momento che sto collegando al mio blog, ecco un post specifico su Monty Hall .

Sono d'accordo che gli studenti trovano questo problema molto difficile. La risposta tipica che ottengo è che dopo che ti è stata mostrata una capra c'è una probabilità 50:50 di prendere l'auto, quindi perché è importante? Gli studenti sembrano divorziare dalla loro prima scelta dalla decisione che ora viene loro chiesto di prendere, cioè vedono queste due azioni come indipendenti. Ricordo poi che avevano due volte più probabilità di aver scelto inizialmente la porta sbagliata, quindi perché è meglio che si scambino.

Negli ultimi anni ho iniziato a giocare con il vetro e questo aiuta gli studenti a capire molto meglio il problema. Uso tre rotoli di carta igienica "medio" e in due sono graffette e nel terzo una banconota da £ 5.

Credo che sia più una questione di logica che una difficoltà con probabilità che rende sorprendente la soluzione di Monty Hall. Considera la seguente descrizione del problema.

Decidi a casa, prima di andare allo show televisivo, se hai intenzione di cambiare porta o restare con la tua prima scelta, qualunque cosa accada durante lo spettacolo. Cioè, scegli tra le strategie "Resta" o "Cambia" prima di giocare. Non vi è alcuna incertezza in questa scelta di strategia. Non è ancora necessario introdurre le probabilità.

Comprendiamo le differenze tra le due strategie. Ancora una volta, non parleremo di probabilità.

Con la strategia "Resta", vinci se e solo se la tua prima scelta è la porta "buona". D'altra parte, con la strategia "Switch", vinci se e solo se la tua prima scelta è una porta "cattiva". Per favore, rifletti attentamente su questi due casi per un minuto, specialmente il secondo. Ancora una volta, nota che non abbiamo ancora parlato delle probabilità. È solo una questione di logica.

$1/3$$1/3$$2/3$

PS Nel 1990, il Prof. Larry Denenberg ha inviato una lettera al conduttore televisivo Monty Hall chiedendo il permesso di usare in un libro il suo nome nella descrizione del noto problema delle tre porte.

Ecco un'immagine di parte della risposta di Monty a quella lettera, dove possiamo leggere:

"come la vedo io, non farebbe alcuna differenza dopo che il giocatore ha selezionato la porta A, e dopo che gli è stata mostrata la porta C - perché dovrebbe quindi tentare di passare alla porta B?"

Pertanto, possiamo tranquillamente concludere che Monty Hall (l'uomo stesso) non ha capito il problema di Monty Hall!

Non è necessario conoscere la probabilità condizionale o il teorema di Bayes per capire che è meglio cambiare la risposta.

Supponiamo che tu scelga inizialmente la Porta 1. Quindi la probabilità che la Porta 1 sia vincente è 1/3 e la probabilità che la Porta 2 o 3 sia un vincitore è 2/3. Se la Porta 2 mostra di essere un perdente per scelta dell'host, allora la probabilità che 2 o 3 sia un vincitore è ancora 2/3. Ma dal momento che Door 2 è un perdente, Door 3 deve avere una probabilità 2/3 di essere un vincitore.

La lezione? Riformula la domanda e cerca una strategia invece di guardare la situazione. Capovolgi la cosa, lavora all'indietro ...

Le persone sono generalmente pessime nel lavorare con il caso. Gli animali in genere pagano meglio, una volta scoperto che A o B danno in media un pagamento più elevato ; si attengono alla scelta con la media migliore. (non hai un riferimento pronto - scusa.)

La prima cosa che le persone sono tentate di fare quando vedono una distribuzione 80/20, è di diffondere le loro scelte per abbinare il pagamento: 80% sulla scelta migliore e 20% sull'altra. Ciò comporterà un pagamento del 68%.

Ancora una volta, esiste uno scenario valido per le persone che scelgono una tale strategia: se le probabilità cambiano nel tempo, c'è una buona ragione per inviare una sonda e provare la scelta con le minori probabilità di successo.

Una parte importante delle statistiche matematiche studia effettivamente il comportamento dei processi per determinare se sono casuali o meno.

Penso che ci siano molte cose da fare.

Per uno, l'installazione implica più informazioni che la soluzione prende in considerazione. Che si tratta di uno spettacolo di gioco, e l'host ci sta chiedendo se vogliamo cambiare.

Se supponi che l'host non desideri che lo show spenda soldi extra (il che è ragionevole), allora supponeresti che proverebbe a convincerti a cambiare se avessi la porta giusta.

Questo è un modo comune di considerare il problema che può confondere le persone, tuttavia penso che il problema principale non sia capire come la nuova scelta sia diversa dalla prima (che è più chiara nel caso delle 100 porte).

Io cito questo grande articolo su lesswrong:

Le possibili ipotesi sono Car in Door 1, Car in Door 2 e Car in Door 3; prima dell'inizio del gioco, non c'è motivo di credere che una delle tre porte abbia più probabilità delle altre di contenere l'auto, e quindi ciascuna di queste ipotesi ha una probabilità precedente 1/3.

Il gioco inizia con la nostra selezione di una porta. Questo di per sé non è la prova di dove sia la macchina, ovviamente - stiamo assumendo che non abbiamo informazioni particolari a riguardo, a parte il fatto che è dietro una delle porte (questo è il punto centrale del gioco!). Una volta fatto ciò, avremo quindi l'opportunità di "eseguire un test" per ottenere alcuni "dati sperimentali": l'host eseguirà il suo compito di aprire una porta che è garantita per contenere una capra. Rappresenteremo il risultato L'host apre la porta 1 di un triangolo, il risultato l'host apre la porta 2 di un quadrato e il risultato l'host apre la porta 3 di un pentagono - scolpendo così il nostro spazio di ipotesi in modo più fine in possibilità come "Auto nella porta 1 e l'host apre la porta 2 "," Auto nella porta 1 e l'host apre la porta 3 ", ecc .:

Prima di effettuare la selezione iniziale di una porta, è altrettanto probabile che l'host apra una delle porte contenenti capra. Pertanto, all'inizio del gioco, la probabilità di ciascuna ipotesi della forma "Auto nella porta X e l'host apre la porta Y" ha una probabilità di 1/6, come mostrato. Fin qui tutto bene; tutto è ancora perfettamente corretto.

Ora selezioniamo una porta; diciamo che scegliamo la porta 2. L'ospite apre quindi la porta 1 o la porta 3, per rivelare una capra. Supponiamo che apra la porta 1; il nostro diagramma ora assomiglia a questo:

Ma questo mostra le stesse probabilità che l'auto si trovi dietro la Porta 2 e la Porta 3!

Hai colto l'errore?

Ecco qua, ecco come la tua intuizione ti delude.

Scopri la soluzione corretta nell'articolo completo . Include :

• Spiegazione del teorema di Bayes
• Approccio sbagliato di Monty Hall
• Giusto approccio di Monty Hall
• Più problemi ...

Nella mia esperienza, è il fatto che le persone non saltano automaticamente dalle parole alla matematica. Normalmente, quando lo presento per la prima volta, le persone sbagliano. Tuttavia, tiro fuori un mazzo di 52 carte e faccio scegliere una. Rivelo quindi cinquanta carte e chiedo loro se vogliono cambiare. La maggior parte delle persone lo capisce. Sanno intuitivamente che probabilmente hanno la carta sbagliata quando ce ne sono 52 e quando ne vedono cinquanta girate, la decisione è piuttosto semplice. Non penso che sia tanto un paradosso quanto una tendenza a spegnere la mente in problemi di matematica.