Come dimostrare che non esiste spazio di funzionalità a dimensioni finite per il kernel gaussiano RBF?

Come dimostrare che per la funzione di base radiale non esiste uno spazio delle caratteristiche a dimensione finita tale che per alcuni abbiamo ?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Il teorema di Moore-Aronszajn garantisce che un kernel definito positivo simmetrico sia associato a un unico spazio di riproduzione del kernel di Hilbert. (Notare che mentre RKHS è unico, la mappatura stessa non lo è.)

Pertanto, è possibile rispondere alla tua domanda esibendo un RKHS di dimensione infinita corrispondente al kernel gaussiano (o RBF). Puoi trovare uno studio approfondito di questo in " Una descrizione esplicita degli spazi del kernel riproducente Hilbert dei kernel gaussiani RBF ", Steinwart et al.

Supponiamo che il kernel gaussiano RBF sia definito sul dominio X × X dove X contiene un numero infinito di vettori. Si può dimostrare ( gaussiana Kernel, perché sono rango pieno? ) Che per ogni insieme di vettori distinti x 1 , . . . , x m ∈ matrice X ( k ( x i , x j ) ) m × m non è singolare, il che significa che i vettori Φ$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ sono linearmente indipendenti. Pertanto, uno spazio delle funzioni H per il kernel k non può avere un numero finito di dimensioni.$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$