Coefficiente negativo nella regressione logistica ordinata

Supponiamo di avere la risposta ordinale e un insieme di variabili che pensiamo spiegherò . Quindi eseguiamo una regressione logistica ordinata di (matrice di progettazione) su (risposta).X : = [ x 1 , x 2 , x 3 ] y X $y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$$X:=[x_1,x_2,x_3]$$y$$X$$y$

Supponiamo che il coefficiente stimato di , chiamalo , nella regressione logistica ordinata sia . Come posso interpretare il odds ratio (OR) di ?β 1 - 0,5 e - 0,5 = $x_1$$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

Dico "per un aumento di 1 unità in , ceteris paribus, le probabilità di osservare sono volte la probabilità di osservare e per la stessa modifica in x_1 , le probabilità di osservare \ text {Neutral} \ cup \ text {Good} sono 0.607 volte le probabilità di osservare \ text {Bad} "? Buono 0.607 Cattivo ∪ Neutro x 1 Neutro ∪ Buono 0.607 $x_1$$\text{Good}$$0.607$$\text{Bad}\cup \text{Neutral}$$x_1$$\text{Neutral} \cup \text{Good}$$0.607$$\text{Bad}$

Non riesco a trovare alcun esempio di interpretazione del coefficiente negativo nel mio libro di testo o in Google.

Sei sulla strada giusta, ma dai sempre un'occhiata alla documentazione del software che stai utilizzando per vedere quale modello è effettivamente adatto. Supponi una situazione con una variabile dipendente categoriale $Y$ con le categorie ordinate $1, \ldots, g, \ldots, k$ e i predittori $X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$ .

"In the wild", puoi trovare tre opzioni equivalenti per scrivere il modello teorico di probabilità proporzionale con diversi significati di parametri impliciti:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(I modelli 1 e 2 hanno la limitazione che nelle regressioni logistiche binarie separate , il non varia con , e , il modello 3 ha la stessa restrizione su e richiede che )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• Nel modello 1, un positivo significa che un aumento predittore è associata ad un aumento probabilità per una bassa categoria in .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Il modello 1 è in qualche modo controintuitivo, quindi il modello 2 o 3 sembra essere il preferito nel software. Qui, una positiva significa che un aumento del predittore è associata ad un aumento probabilità per una più alta categoria in .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• I modelli 1 e 2 portano alle stesse stime per , ma le loro stime per hanno segni opposti.$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• I modelli 2 e 3 portano alle stesse stime per , ma le loro stime per hanno segni opposti.$\beta_{j}$$\beta_{0_g}$

Supponendo che il tuo software utilizzi il modello 2 o 3, puoi dire "con un aumento di 1 unità in , ceteris paribus, le probabilità previste di osservare ' ' rispetto all'osservazione ' "cambia di un fattore di .", e similmente "con un aumento di 1 unità in , ceteris paribus, le probabilità previste di osservare" 'rispetto all'osservazione' 'cambia di un fattore di . " Si noti che nel caso empirico, abbiamo solo le probabilità previste, non quelle effettive.$X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Ecco alcune illustrazioni aggiuntive per il modello 1 con categorie. Innanzitutto, l'assunzione di un modello lineare per i logit cumulativi con probabilità proporzionali. In secondo luogo, le probabilità implicite di osservare al massimo la categoria . Le probabilità seguono funzioni logistiche con la stessa forma. $k = 4$$g$

Per le stesse probabilità di categoria, il modello rappresentato implica le seguenti funzioni ordinate:

PS Per quanto ne so, il modello 2 viene utilizzato in SPSS, nonché nelle funzioni R MASS::polr()e ordinal::clm(). Il modello 3 è utilizzato nelle funzioni R rms::lrm()e VGAM::vglm(). Sfortunatamente, non conosco SAS e Stata.