Come viene definita la causalità in modo matematico?

Qual è la definizione matematica di una relazione causale tra due variabili casuali?

Dato un campione dalla distribuzione congiunta di due variabili casuali e , quando potremmo dire che causa ?$X$$Y$$X$$Y$

Per il contesto, sto leggendo questo articolo sulla scoperta causale .

Qual è la definizione matematica di una relazione causale tra due variabili casuali?

Matematicamente, un modello causale consiste in relazioni funzionali tra variabili. Ad esempio, si consideri il sistema di equazioni strutturali di seguito:

Ciò significa che $x$ determina funzionalmente il valore di $y$ (se si interviene su $x$ questo cambia i valori di $y$ ) ma non viceversa. Graficamente, questo è solitamente rappresentato da $x \rightarrow y$ , il che significa che $x$ entra nell'equazione strutturale di y. Come addendum, puoi anche esprimere un modello causale in termini di distribuzioni congiunte di variabili controfattuali, che è matematicamente equivalente ai modelli funzionali .

Dato un campione dalla distribuzione congiunta di due variabili casuali X e Y, quando potremmo dire che X causa Y?

A volte (o la maggior parte delle volte) non si ha conoscenza della forma delle equazioni strutturali $f_{x}$ , $f_y$ , e nemmeno se $x\rightarrow y$ o $y \rightarrow x$ . Le uniche informazioni che hai sono la distribuzione di probabilità congiunta $p(y,x)$ (o campioni da questa distribuzione).

Questo porta alla tua domanda: quando posso recuperare la direzione della causalità solo dai dati? O, più precisamente, quando posso recuperare se $x$ inserisce l'equazione strutturale di $y$ o viceversa, solo dai dati?

Certamente, senza ipotesi fondamentalmente non verificabili sul modello causale, questo è impossibile . Il problema è che diversi modelli causali possono comportare la stessa distribuzione di probabilità congiunta delle variabili osservate. L'esempio più comune è un sistema lineare causale con rumore gaussiano.

Ma sotto alcune ipotesi causali, questo potrebbe essere possibile --- ed è su questo che lavora la letteratura sulla scoperta causale. Se non si è esposti in precedenza a questo argomento, è possibile iniziare da Elements of Causal Inference di Peters, Janzing e Scholkopf, nonché dal capitolo 2 di Causality di Judea Pearl. Abbiamo un argomento qui sul CV per riferimenti sulla scoperta causale , ma non abbiamo ancora molti riferimenti elencati lì.

Pertanto, non esiste una sola risposta alla tua domanda, poiché dipende dalle ipotesi che si fanno. Il documento che citi cita alcuni esempi, come l'assunzione di un modello lineare con rumore non gaussiano . Questo caso è noto come LINGAN (abbreviazione di modello aciclico lineare non gaussiano), ecco un esempio in R:

library(pcalg)
set.seed(1234)
n <- 500
eps1 <- sign(rnorm(n)) * sqrt(abs(rnorm(n)))
eps2 <- runif(n) - 0.5
x2 <- 3 + eps2
x1 <- 0.9*x2 + 7 + eps1

# runs lingam
X <- cbind(x1, x2)
res <- lingam(X)
as(res, "amat") 

# Adjacency Matrix 'amat' (2 x 2) of type ‘pag’:
#     [,1]  [,2]
# [1,] .     .   
# [2,]  TRUE .     

Notate qui che abbiamo un modello causale lineare con rumore non gaussiano in cui $x_2$ causa $x_1$ e lingam recupera correttamente la direzione causale. Tuttavia, notare che ciò dipende in modo critico dalle ipotesi di LINGAM.

Nel caso del documento che citi, fanno questo specifico presupposto (vedi il loro "postulato"):

Se $x\rightarrow y$ , la lunghezza minima della descrizione della mappatura del meccanismo da X a Y è indipendente dal valore di X, mentre la lunghezza minima della descrizione della mappatura del meccanismo da Y a X dipende dal valore di Y.

Nota che questo è un presupposto. Questo è ciò che chiameremmo la loro "condizione di identificazione". In sostanza, il postulato impone restrizioni alla distribuzione congiunta $p(x,y)$ . In altre parole, il postulato afferma che se $x \rightarrow y$ determinate restrizioni nei dati e se restano $y \rightarrow x$ altre restrizioni. Questi tipi di restrizioni che hanno implicazioni verificabili (impongono vincoli su $p(y,x)$ ) è ciò che consente di recuperare direzionalmente dai dati osservativi.

Come osservazione finale, i risultati della scoperta causale sono ancora molto limitati e dipendono da forti assunzioni, fai attenzione quando li applichi nel contesto del mondo reale.

Esistono vari approcci per formalizzare la causalità (che è in linea con un sostanziale disaccordo filosofico sulla causalità che esiste da secoli). Uno popolare è in termini di risultati potenziali. L'approccio dei risultati potenziali, chiamato modello causale di Rubin , suppone che per ogni stato causale ci sia una variabile casuale diversa. Quindi, $Y_1$ potrebbe essere la variabile casuale dei possibili risultati di una sperimentazione clinica se un soggetto assume il farmaco in studio e $Y_2$ potrebbe essere la variabile casuale se assume il placebo. L'effetto causale è la differenza tra $Y_1$ e $Y_2$ . Se in effetti $Y_1 = Y_2$ , si può dire che il trattamento non ha effetto. Altrimenti, potremmo dire che la condizione del trattamento provoca il risultato.

Le relazioni causali tra variabili possono anche essere rappresentate con grafici acylical direzionali , che hanno un sapore molto diverso ma risultano matematicamente equivalenti al modello di Rubin (Wasserman, 2004, sezione 17.8).

Wasserman, L. (2004). Tutte le statistiche: un corso conciso di inferenza statistica . New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-40272-7.

Esistono due modi per determinare se $X$ è la causa di $Y$. Il primo è standard mentre il secondo è la mia richiesta.

1. Esiste un intervento su $X$ tale che il valore di $Y$ è cambiato

An intervention is a surgical change to a variable that does not affect variables it depends on. Interventions have been formalized rigorously in structural equations and causal graphical models, but as far as I know, there is no definition which is independent of a particular model class.

2. The simulation of $Y$ requires the simulation of $X$

To make this rigorous requires formalizing a model over $X$ and $Y$, and in particular the semantics which define how it is simulated.

In modern approaches to causation, intervention is taken as the primitive object which defines causal relationships (definition 1). In my opinion, however, intervention is a reflection of, and necessarily consistent with simulation dynamics.