Valore atteso di un logaritmo naturale

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Conosco con costanti, quindi dato , è facile da risolvere. So anche che non puoi applicarlo quando è una funzione non lineare, come in questo caso , e per risolverlo devo fare un'approssimazione con quello di Taylor. Quindi la mia domanda è come posso risolvere ?? faccio anche approssimazione con Taylor? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— opaco
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Sì, puoi applicare il metodo delta in questo caso.

— Michael R. Chernick,

5

Dovresti anche esaminare la disuguaglianza di Jensen.

— kjetil b halvorsen,

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Nel documento

YW Teh, D. Newman e M. Welling (2006), un algoritmo di inferenza bayesiana variazionale collassato per allocazione di Dirichlet latente , NIPS 2006 , 1353-1360.

un'espansione di Taylor del secondo ordine attorno a viene utilizzata per approssimare : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Questa approssimazione sembra funzionare abbastanza bene per la loro applicazione.

Modificandolo leggermente per adattarlo alla domanda attuale, in base alla linearità delle aspettative,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Tuttavia, può accadere che il lato sinistro o il lato destro non esistano mentre l'altro esiste, e quindi è necessario prestare attenzione quando si utilizza questa approssimazione.

— user1149913
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3

È interessante notare che questo può essere usato per ottenere un'approssimazione della funzione digamma.

— Probislogic,

6

Inoltre, se non hai bisogno di un'espressione esatta per , spesso il limite dato dalla disuguaglianza di Jensen è abbastanza buono: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
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volevo solo aggiungere: se non è possibile alcun calcolo diretto e si osserva una singola variabile

, la disuguaglianza di Jensen riguarda l'unica opzione per ottenere risultati utili. mentre l'approssimazione di Taylor suggerita può effettivamente funzionare nella prassi, non esiste alcuna giustificazione teorica che possa essere utilizzata per motivare la cancellazione dei termini rimanenti. (detto questo: tieni presente che la serie infinitamente taylor di ln (1 + x) converge comunque solo in un raggio | x | <1).)

X

$X$

— chRrr

Penso che dovrebbe essere

poiché il

è concavo verso il basso.

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— Deep North,

5

$X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— zen
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1

Se esiste il secondo integrale. Non è necessario. Prendi la distribuzione di Cauchy e

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$ .

— mpiktas,

Aggiungerei un secondo strato di pedanteria dicendo che ne hai davvero bisogno

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$ affinché l'aspettativa sia ben definita.

— Probislogic,

2

@mpiktas - Questa aspettativa esiste davvero ma è infinita. Un esempio migliore è

g (x) = x

$g(x)=x$ per la distribuzione di Cauchy. Questa aspettativa dipende da come i limiti inferiore e superiore dell'integrazione tendono all'infinito.

— Probislogic,

2

@prob: No, non hai bisogno di quella condizione nel tuo primo commento e anche in una situazione che potrebbe essere molto rilevante per questa domanda! (+1 al tuo secondo commento, però, che era qualcosa su cui avevo intenzione di commentare anche io.)

— Cardinale

2

@prob: It is sufficient, but if you compare your first comment to your second one, you'll see why it's not necessary! :-)

— cardinal

4

There are two usual approaches:

If you know the distribution of $X$ , you may be able to find the distribution of $\ln(1+X)$ and from there find its expectation; alternatively you may be able to use the law of the unconscious statistician directly (that is, integrate $\ln(1+x) f_{X}(x)$ over the domain of $x$ ).
As you suggest, if you know the first few moments you can compute a Taylor approximation.

— Glen_b -Reinstate Monica
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