Cosa significa dirlo

Si pone una domanda di esercitazione

Permettere $X_1, X_2$ essere rvs con una distribuzione normale comune $N(0,1)$ con $\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$. Calcola il coefficiente di dipendenza superiore della coda per tutti$\rho \in [-1, 1]$.

Cosa significa che ha una distribuzione normale "comune"?

Il mio primo pensiero fu che intendevano entrambi $X_1$ e $X_2$ sono normali univariati $N(0,1)$variabili distribuite. Tuttavia, se questo è vero, allora la domanda non ha senso. La dipendenza dalla coda non può essere calcolata.

Quindi sono rimasto a credere che per distribuzione normale "comune", intendano la distribuzione normale bivariata?

Significa che due cose sono vere.

Primo:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

per tutti i numeri reali $t$ (Cioè, $X_1$ e $X_2$hanno la stessa distribuzione, spesso la stenografia equidistribuita viene utilizzata per descrivere questa condizione).

Secondo:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

per alcuni numeri fissi $\mu$ e $\sigma$ (ovvero la distribuzione di $X_1$ (*) è una distribuzione normale).

Questo non implica questo $(X_1, X_2)$è normale normale senza ulteriori ipotesi. Se era previsto, non è ciò che l'autore ha effettivamente scritto.

(*) Vista la prima condizione, ciò implica che la distribuzione di $X_2$ è anche una distribuzione normale.

Penso che "comune" qui significhi solo che la distribuzione marginale $\text{N}(0,1)$è comune ad entrambe le variabili casuali (cioè hanno la stessa distribuzione marginale). Sebbene tecnicamente questo non sia sufficiente per dare una distribuzione normale bivariata, penso che lo scrittore probabilmente intendesse quella forma:

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Tale specifica produrrebbe distribuzioni marginali comuni $X \sim \text{N}(0,1)$ e $Y \sim \text{N}(0,1)$. Se fossi in te, suggerirei di notare questo tecnicismo, e quindi procedere sulla base del fatto che le variabili casuali sono normali bivariate. Potresti voler annotare di nuovo il problema come avvertimento una volta che hai dato la tua risposta.

L'esercizio è mal definito. Ho il sospetto che ciò che si intende è che le due variabili casuali sono congiuntamente normali e hanno una distribuzione comune. Se sono separatamente normali ma non congiuntamente normali, non hai abbastanza informazioni per rispondere alla domanda. Se il mio sospetto è giusto, l'esercizio avrebbe dovuto dire che sono congiuntamente normali.

Avere una distribuzione "comune" significa semplicemente che entrambi hanno la stessa distribuzione. Pertanto:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ per quindi ciascuno è normalmente distribuito e hanno in comune quella distribuzione normale.$i=1,2,$