Terminologia per media della probabilità posteriore bayesiana con prioritario uniforme

Se Uniform e Bin , la media posteriore di è data da . $p \sim$ $(0,1)$ $X \sim$ $(n, p)$ $p$ $\frac{X+1}{n+2}$

C'è un nome comune per questo stimatore? Ho scoperto che risolve molti problemi delle persone e mi piacerebbe essere in grado di indirizzare le persone a un riferimento, ma non sono stato in grado di trovare il nome giusto per questo.

Ricordo vagamente che questo è stato chiamato qualcosa come lo "stimatore + 1 / + 2" in un libro di statistiche 101, ma non è un termine molto ricercabile.

bayesian terminology laplace-smoothing

— Cliff AB
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Risposte:

Con $\mathsf{Unif}(0,1) \equiv \mathsf{Beta}(\alpha_0=1,\beta_0 =1)$ e probabilità $\mathsf{Binom}(n, \theta)$ mostra $x$ successi in $n$ prove, la distribuzione posteriore è $\mathsf{Beta}(\alpha_n=1 + x,\; \beta_n = 1 + n - x).$ (Questo è facilmente visibile moltiplicando i kernel del precedente e la probabilità di ottenere il kernel del posteriore.)

Quindi la media posteriore è

μ_{n} = \frac{α_{n}}{α_{n} + β} = \frac{X + 1}{n + 2} .

$\mu_n = \frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta} = \frac{x+1}{n+2}.$

In un contesto bayesiano, usare semplicemente la media posteriore della terminologia potrebbe essere la cosa migliore. (La mediana della distribuzione posteriore e il massimo del suo PDF sono stati usati anche per riassumere le informazioni posteriori.)

Note: (1) Qui stai usando $\mathsf{Beta}(1,1)$ come distribuzione precedente non informativa. Per validi motivi teorici, alcuni statistici bayesiani preferiscono usare il Jeffreys precedenti $\mathsf{Beta}(\frac 1 2, \frac 1 2)$ come precedente non informativo. Quindi la media posteriore è $\mu_n = \frac{x+.5}{n+1}.$

(2) Nel fare gli intervalli di confidenza frequentista Agresti e Coull hanno suggerito "aggiungendo due successi e due fallimenti" a campione al fine di ottenere un intervallo di confidenza sulla base della stima di $\hat p = \frac{x+2}{n+4},$ che ha probabilità di copertura più accurati (rispetto alla tradizionale Wald intervallo utilizzando $\hat p = \frac x n).$ David Moore lo ha definito unostimatorepiù quattroin alcuni dei suoi testi statistici elementari ampiamente utilizzati, e la terminologia è stata usata da altri. Non sarei sorpreso di vedere il tuo stimatore chiamato "più due" e Jeffries "chiamato" più uno ".

(3) Tutti questi stimatori hanno l'effetto di "ridurre lo stimatore verso 1/2" e quindi sono stati chiamati "stimatori di contrazione" (un termine che è molto più ampiamente usato, in particolare nell'inferenza di James-Stein). Vedi risposta (+1) di @Taylor.

— BruceET
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Correlato - stats.stackexchange.com/questions/185221 .

— Royi

sì, ma in che modo aiuta con la terminologia ?

— BruceET,

Aiuta con la derivazione che hai scritto è facile. Immagino che alcune persone potrebbero incontrare questa domanda cercando effettivamente la derivazione stessa.

— Royi

(2) è davvero quello che mi interessava. Non mi rendevo conto che lo stimatore era stato presentato per giustificazioni puramente frequentiste. Nei casi in cui lo prescrivo come soluzione, è sempre qualcosa di simile a come calcolare una probabilità quando un certo multinomiale non è mai stato visto prima (cioè, il raggruppamento sul conteggio delle lettere e un cluster non include "z"), quindi niente da fare con le probabilità di copertura degli EC. Grazie!

— Cliff AB

In un'applicazione pratica, non è possibile ignorare né la probabilità di copertura né la lunghezza media dell'elemento della configurazione. Altrimenti, saresti felice con un CI 100% per tutti gli usi per la probabilità di successo binomiale è l'intervallo completamente non informativo

// Valuta per aver chiaramente indicato in questo commento il motivo per cui hai posto la domanda.

(0, 1) .

$(0,1).$

— BruceET,

Questo si chiama lisciatura di Laplace , o regola di successione di Laplace , poiché Pierre-Simon Laplace lo usava per stimare la probabilità che il sole sorgesse di nuovo domani: "Scopriamo così che un evento si è verificato più volte, la probabilità che accada di nuovo la volta successiva è uguale a questo numero aumentato per unità, diviso per lo stesso numero aumentato per due unità. "

Essai filosofica sulle probabilità del marchese di Laplace

— Xi'an
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(+1) per riferimento storico

— BruceET

(+1) Sia questa che la risposta di @ BruceET erano diverse ma corrette alla mia domanda.

— Cliff AB,

$.5$

— Taylor
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(+1) È vero, è uno stimatore di contrazione. Volevo un nome specifico per il caso binomiale / multinomiale in modo da poter indirizzare altri ricercatori a materiale su quello stimatore esatto in modo che non pensino che sto solo dicendo "aggiungi 1 alle cose finché non ottieni la risposta che desideri" ma anche non è necessario ricominciare dall'inizio spiegando quali siano le statistiche bayesiane.

— Cliff AB