Relazione tra indipendenza e correlazione di variabili casuali uniformi

La mia domanda è abbastanza semplice: let $X$ e $Y$ essere due variabili casuali uniformi non correlate su $[-1,1]$. Sono indipendenti?

Ho avuto l'impressione che due variabili casuali, non correlate, siano necessariamente indipendenti solo se la loro distribuzione congiunta è normale. Tuttavia, non posso trovare un controesempio per confutare l'affermazione di cui sto chiedendo. Fornisci un controesempio o una prova.

Indipendente implica non correlato, ma le implicazioni non vanno diversamente.

Non correlato implica l'indipendenza solo a determinate condizioni. ad esempio se hai un normale bivariato , è il caso che non correlato implichi indipendente (come hai detto).

È facile costruire distribuzioni bivariate con margini uniformi in cui le variabili non sono correlate ma non indipendenti. Ecco alcuni esempi:

1. considera un'ulteriore variabile casuale $B$ che accetta i valori $\pm 1$ ciascuno con probabilità $\frac12$, indipendente da $X$. Allora lascia$Y=BX$.

2. prendere la distribuzione bivariata di due uniformi indipendenti e tagliarla in 4 sezioni uguali su ciascun margine (cedendo $4\times 4=16$ pezzi, ciascuno di dimensioni $\frac12\times\frac12$). Ora prendi tutta la probabilità dai 4 pezzi d'angolo e dai 4 pezzi centrali e mettila uniformemente negli altri 8 pezzi.

3. Permettere $Y = 2|X|-1$.

In ogni caso, le variabili non sono correlate ma non indipendenti (es. If $X=1$, cosa è $P(-0.1<Y<0.1)\,$?)

Se si specifica una particolare famiglia di distribuzioni bivariate con margini uniformi, è possibile che in quella formulazione l'unica non correlata sia indipendente. Quindi essere non correlati implicherebbe l'indipendenza.

Ad esempio, se limitate la vostra attenzione a dire la copula gaussiana, allora penso che l'unica non correlata abbia margini indipendenti; puoi prontamente ridimensionare in modo che ogni margine sia attivo (-1,1).

Alcuni codici R per campionare e tracciare questi bivariati (non necessariamente in modo efficiente):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(In questa formulazione, $(Y_2, Y_3)$ fornisce un quarto esempio)

[Per inciso, trasformando tutti questi in normalità (cioè trasformando $X$ per $\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$e così via), si ottengono esempi di variabili casuali normali non correlate che non sono indipendenti. Naturalmente non sono congiuntamente normali.]