Posso interpretare l'inclusione di un termine quadratico nella regressione logistica come indicativo di una svolta?

In una regressione logistica solo con termini lineari e quadratici, se ho un coefficiente lineare e un coefficiente quadratico , posso dire che esiste un punto di svolta della probabilità in ?β 2 - β 1 / ( 2 β 2$\beta_1$$\beta_2$$-\beta_1 / (2\beta_2)$

Si, puoi.

Il modello è

Quando $\beta_2$ è diverso da zero, questo ha un estremo globale in $x = -\beta_1 / (2\beta_2)$ .

La regressione logistica stima questi coefficienti come . Poiché questa è una stima della massima verosimiglianza (e le stime ML delle funzioni dei parametri sono le stesse funzioni delle stime), possiamo stimare che la posizione dell'estremo sia a .$(b_0, b_1, b_2)$$-b_1/(2b_2)$

Un intervallo di confidenza per tale stima sarebbe di interesse. Per set di dati sufficientemente grandi da applicare la teoria della massima verosimiglianza asintotica, possiamo trovare gli endpoint di questo intervallo nel modulo$\beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2$

e scoprire quanto può essere variata prima che la probabilità di log diminuisca troppo. "Troppo" è, asintoticamente, metà del quantile di una distribuzione chi-quadrato con un grado di libertà.$\gamma$$1-\alpha/2$

Questo approccio funzionerà bene a condizione che gli intervalli di coprano entrambi i lati del picco e ci sia un numero sufficiente di risposte e tra i valori per delineare quel picco. Altrimenti, la posizione del picco sarà altamente incerta e le stime asintotiche potrebbero essere inaffidabili.$x$1 $0$$1$$y$

Ril codice per eseguire questa operazione è di seguito. Può essere utilizzato in una simulazione per verificare che la copertura degli intervalli di confidenza sia vicina alla copertura prevista. Si noti come il picco reale sia e, osservando la riga inferiore degli istogrammi, come la maggior parte dei limiti di confidenza inferiori siano inferiori al valore reale e la maggior parte dei limiti di confidenza superiori siano maggiori del valore reale, come speriamo. In questo esempio la copertura prevista era e la copertura effettiva (scontando quattro casi su cui la regressione logistica non convergeva) era , indicando che il metodo funziona bene (per i tipi di dati simulati Qui).$-1/2$$1 - 2(0.05) = 0.90$$500$$0.91$

n <- 50            # Number of observations in each trial
beta <- c(-1,2,2)  # Coefficients
x <- seq(from=-3, to=3, length.out=n)
y0 <- cbind(rep(1,length(x)), x, x^2) %*% beta

# Conduct a simulation.
set.seed(17)
sim <- replicate(500, peak(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), alpha=0.05))

# Post-process the results to check the actual coverage.
tp <- -beta[2] / (2 * beta[3])
covers <- sim["lcl",] <= tp & tp <= sim["ucl",]
mean(covers, na.rm=TRUE) # Should be close to 1 - 2*alpha

# Plot the distributions of the results.
par(mfrow=c(2,2))
plot(x, logistic(y0), type="l", lwd=2, col="#4040d0", main="Simulated Data",ylim=c(0,1))
points(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), pch=19)
hist(sim["peak.x",], main="Estimates"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["lcl",], main="Lower Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["ucl",], main="Upper Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")

logistic <- function(x) 1 / (1 + exp(-x))

peak <- function(x, y, alpha=0.05) {
  #
  # Estimate the peak of a quadratic logistic fit of y to x
  # and a 1-alpha confidence interval for that peak.
  #
  logL <- function(b) {
    # Log likelihood.
    p <- sapply(cbind(rep(1, length(x)), x, x*x) %*% b, logistic)
    sum(log(p[y==1])) + sum(log(1-p[y==0]))
  }
  f <- function(gamma) {
    # Deviance as a function of offset from the peak.
    b0 <- c(b[1] - b[2]^2/(4*b[3]) + b[3]*gamma^2, -2*b[3]*gamma, b[3])
    -2.0 * logL(b0)
  }
  # Estimation.
  fit <- glm(y ~ x + I(x*x), family=binomial(link = "logit"))
  if (!fit$converged) return(rep(NA,3))

  b <- coef(fit)
  tp <- -b[2] / (2 * b[3])

  # Two-sided confidence interval:
  # Search for where the deviance is at a threshold determined by alpha.
  delta <- qchisq(1-alpha, df=1)
  u <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp+u) + delta > 0) u <- 2*u # Find an upper bound
  l <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp-l) + delta > 0) l <- 2*l # Find a lower bound
  upper <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp, tp+u))
  lower <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp-l, tp))

  # Return a vector of the estimate, lower limit, and upper limit.
  c(peak=tp, lcl=lower$root, ucl=upper$root)
}