Utilizzando la lunghezza media e il peso medio per calcolare l'IMC medio?

È valido utilizzare la lunghezza media ( $h$ ) e il peso medio ( $w$ )) di una determinata popolazione per calcolare l'indice di massa corporea media ( $BMI = \frac{w}{h^2}$ ) per quella popolazione?

Matematicamente, non è vero che questi sono necessariamente vicini. Funzionerebbe se $E(Y/X^2) = E(Y)/E(X)^2$ ma questo è falso in generale e in alcune situazioni particolari potrebbe essere abbastanza lontano.

Tuttavia, per un insieme abbastanza realistico di dati bivariati su altezza e peso, sembra che l'impatto sarà piccolo.

Ad esempio, si consideri il modello per l'altezza e il peso del maschio adulto negli Stati Uniti in Brainard e Burmaster (1992) [1]; questo modello è un normale bivariato in altezza e log (peso), che si adatta abbastanza bene ai dati altezza-peso e rende facile ottenere simulazioni realistiche. Un buon modello per le femmine è un po 'più complicato, ma non mi aspetto che farebbe molta differenza per la qualità dell'approssimazione dell'IMC; Farò solo i maschi perché un modello molto semplice è abbastanza buono.

Convertire lì il modello per l'altezza e il peso del maschio in metrica e simulare 100.000 punti bivariati in R prima di calcolare i singoli BMI e quindi l'IMC medio, nonché il calcolo dell'altezza media su (peso medio) al quadrato, si scopre che il risultato è stato l'IMC medio era (a quattro cifre) 25,21 e $\bar{h}/\bar{w}^2$ era 25,22, che sembra abbastanza vicino.

Osservando l'effetto della variazione dei parametri, sembra che l'impatto dell'utilizzo dello stimatore di media delle variabili distorto per le donne sarebbe probabilmente leggermente più grande ma ancora non abbastanza sostanziale da essere probabilmente un grosso problema.

Idealmente, dovrebbe essere verificato qualcosa di più vicino a qualunque situazione tu voglia usarlo, ma probabilmente sarà abbastanza buono.

Quindi, per una situazione tipica, sembrerebbe improbabile che in pratica sia un grosso problema.

[1]: Brainard, J. e Burmaster, DE (1992),
"Distribuzioni bivariate per altezza e peso di uomini e donne negli Stati Uniti",
Analisi del rischio , vol. 12, n. 2, p. 267-275

Non è completamente corretto, ma di solito non farà una differenza enorme.

Ad esempio, supponiamo che la tua popolazione abbia pesi 80, 90 e 100 kg ed è alta 1,7, 1,8 e 1,9 m. Quindi i BMI sono 27.68, 27.78 e 27.70. La media degli BMI è 27.72. Se calcoli l'IMC dalla media dei pesi e delle altezze, ottieni 27,78, che è leggermente diverso, ma di solito non dovrebbe fare molta differenza.

Sebbene sia d'accordo con le altre risposte che è probabile che questo metodo si avvicini al BMI medio, vorrei sottolineare che si tratta solo di un'approssimazione.

In realtà sono propenso a dire che non dovresti usare il metodo che descrivi, in quanto è semplicemente meno accurato. È banale calcolare i BMI per ogni individuo e quindi prendere la media di quello, dandoti il ​​vero BMI medio.

Qui illustrerò due estremi, in cui i mezzi di peso e lunghezza rimangono gli stessi, ma l'IMC medio è in realtà diverso:

Utilizzando il seguente codice (matlab):

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.5, 1.5, 1.5, 1.8, 1.8, 1.8;]; % OUR DATA
length = length.^2;
bmi = weight./length;
scatter(1:size(weight,2), bmi, 'filled');
yline(mean(bmi),'red','LineWidth',2);
yline(mean(weight)/mean(length),'blue','LineWidth',2);
xlabel('Person');
ylabel('BMI');
legend('BMI', 'mean(bmi)', 'mean(weight)/mean(length)', 'Location','northwest');

Noi abbiamo:

Se riordiniamo semplicemente le lunghezze, otteniamo un BMI medio diverso mentre media (peso) / media (lunghezza ^ 2) rimane la stessa:

weight = [60, 61, 62, 100, 101, 102]; % OUR DATA
length = [1.8, 1.8, 1.8, 1.5, 1.5, 1.5;]; % OUR DATA (REORDERED)
... % rest is the same

Ancora una volta, usando dati reali è probabile che il tuo metodo si avvicini al BMI medio reale, ma perché dovresti usare un metodo meno accurato?

Al di fuori dell'ambito della domanda: è sempre una buona idea visualizzare i tuoi dati in modo da poter effettivamente vedere le distribuzioni. Se noti alcuni cluster, ad esempio, puoi anche considerare di ottenere mezzi separati per quei cluster (ad esempio separatamente per le prime 3 e le ultime 3 persone nel mio esempio)