La situazione

Alcuni ricercatori vorrebbero metterti a dormire. A seconda del lancio segreto di una moneta giusta, ti risveglieranno brevemente una volta (teste) o due volte (code). Dopo ogni risveglio, ti riporteranno a dormire con un farmaco che ti farà dimenticare quel risveglio. Quando si è risvegliato, fino a che punto dovrebbe si crede che il risultato del lancio della moneta era Heads?

(OK, forse non vuoi essere il soggetto di questo esperimento! Supponi invece che la Bella Addormentata (SB) sia d'accordo (con la piena approvazione del Comitato di revisione istituzionale del Magic Kingdom, ovviamente). Sta per andare a dormire per cento anni, quindi quali sono ancora uno o due giorni?)

[Dettaglio di un'illustrazione di Maxfield Parrish .]

Sei un Halfer o un Thirder?

La posizione di Halfer. Semplice! La moneta è giusta - e SB lo sa - quindi dovrebbe credere che ci sia una metà delle possibilità di testa.

La posizione più assetata. Se questo esperimento dovesse essere ripetuto più volte, allora la moneta sarà testa solo un terzo delle volte in cui SB viene risvegliato. La sua probabilità di testa sarà di un terzo.

I terzi hanno un problema

La maggior parte, ma non tutte, le persone che hanno scritto su questo sono terzi. Ma:

• Domenica sera, poco prima che SB si addormenti, deve credere che la possibilità delle teste sia la metà: ecco cosa significa essere una moneta giusta.

• Ogni volta che SB si sveglia, non ha imparato assolutamente nulla che non sapeva domenica sera. Quale argomentazione razionale può dare, quindi, per affermare che la sua fiducia nelle teste è ora un terzo e non metà?

Qualche tentativo di spiegazioni

• SB perderebbe necessariamente soldi se scommettesse sulle teste con quote diverse da 1/3. (Vineberg, inter alios )

• La metà è davvero corretta: basta usare l'interpretazione everettiana dei "molti mondi" della Meccanica Quantistica! (Lewis).

• SB aggiorna la sua convinzione basata sull'auto-percezione della sua "posizione temporale" nel mondo. (Elga, ia )

• SB è confuso: “[Sembra] più plausibile dire che il suo stato epistemico al risveglio non dovrebbe includere un certo grado di fiducia nelle teste. ... Il vero problema è come si affronta un malfunzionamento cognitivo noto, inevitabile. "[Arntzenius]

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La domanda

Tenendo conto di ciò che è già stato scritto su questo argomento (vedere i riferimenti e un post precedente ), come si può risolvere questo paradosso in modo statisticamente rigoroso? È possibile?

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Riferimenti

Arntzenius, Frank (2002). Riflessioni sull'analisi della bellezza del sonno 62,1 pp 53-62.

Bradley, DJ (2010). Cresima in un mondo ramificato: l'interpretazione di Everett e la bella addormentata . Brit. J. Phil. Sci. 0 (2010), 1–21.

Elga, Adam (2000). Credenza autocentrante e problema della bella addormentata. Analisi 60 pp 143-7.

Franceschi, Paul (2005). La bella addormentata e il problema della riduzione del mondo . Preprint.

Groisman, Berry (2007). La fine dell'incubo della bella addormentata . Preprint.

Lewis, D (2001). La bella addormentata: rispondi a Elga . Analisi 61.3 pagg. 171-6.

Papineau, David e Victor Dura-Vila (2008). Un più assetato e un everettiano: una risposta alla "Quantum Sleeping Beauty" di Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan sulla bella addormentata . Synthese 160 pp 97-101.

Vineberg, Susan (senza data, forse 2003). Racconto cautelativo della bellezza .

Strategia

Vorrei applicare la teoria della decisione razionale all'analisi, perché questo è un modo consolidato per raggiungere il rigore nel risolvere un problema di decisione statistica. Nel provare a farlo, emerge una difficoltà come speciale: l'alterazione della coscienza di SB.

• La teoria delle decisioni razionali non ha alcun meccanismo per gestire stati mentali alterati.

• Nel chiedere a SB la sua credibilità nel lancio della moneta, la stiamo contemporaneamente trattando in modo un po 'autoreferenziale sia come soggetto (dell'esperimento SB) sia come sperimentatore (riguardo al lancio della moneta).

Modifichiamo l'esperimento in modo inessenziale: invece di somministrare il farmaco per la cancellazione della memoria, prepara una stalla di cloni della Bella Addormentata poco prima che inizi l'esperimento. (Questa è l'idea chiave, perché ci aiuta a resistere a questioni filosofiche distruttive, ma alla fine irrilevanti e fuorvianti).

• I cloni sono come lei sotto tutti gli aspetti, compresi memoria e pensiero.

• SB è pienamente consapevole che ciò accadrà.

Siamo in grado di clonare, in linea di principio. ET Jaynes sostituisce la domanda "come possiamo costruire un modello matematico del buon senso umano" - qualcosa di cui abbiamo bisogno per pensare attraverso il problema della bella addormentata - con "Come potremmo costruire una macchina in grado di svolgere utili ragionamenti plausibili, seguendo principi chiaramente definiti che esprimono un senso comune idealizzato? " Quindi, se vuoi, sostituisci SB con il robot pensante di Jaynes e clonalo.

(Ci sono state, e ci sono ancora, polemiche sul "pensare" macchine.

"Non costruiranno mai una macchina per sostituire la mente umana: fa molte cose che nessuna macchina potrebbe mai fare."

Insisti sul fatto che c'è qualcosa che una macchina non può fare. Se mi dirai esattamente cosa non può fare una macchina, allora posso sempre creare una macchina che farà proprio questo! ”

--J. von Neumann, 1948. Citato da ET Jaynes in Probability Theory: The Logic of Science , p. 4.)

--Rube Goldberg

L'esperimento sulla bella addormentata è stato ribadito

Preparare copie identiche di SB (incluso SB stessa) domenica sera. Tutti vanno a dormire contemporaneamente, potenzialmente per 100 anni. Ogni volta che devi risvegliare SB durante l'esperimento, seleziona a caso un clone che non è stato ancora risvegliato. Eventuali risvegli si verificheranno lunedì e, se necessario, martedì.$n \ge 2$

Sostengo che questa versione dell'esperimento crea esattamente la stessa serie di possibili risultati, fino agli stati mentali e alla consapevolezza di SB, con esattamente le stesse probabilità. Questo è potenzialmente un punto chiave in cui i filosofi potrebbero scegliere di attaccare la mia soluzione. Sostengo che sia l' ultimo punto in cui possono attaccarlo, perché l'analisi rimanente è di routine e rigorosa.

Ora applichiamo i soliti macchinari statistici. Cominciamo con lo spazio campione (di possibili risultati sperimentali). Lascia che significhi "sveglia il lunedì" e T significa "sveglia il martedì". Allo stesso modo, h significhi "teste" e "t" significa code. Sottoscrivi i cloni con numeri interi 1 , 2 , … , n . Quindi i possibili risultati sperimentali possono essere scritti (in quello che spero sia una notazione trasparente, evidente) come set$M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

Probabilità di lunedì

Come uno dei cloni SB, a capire le probabilità di essere svegliato il Lunedi durante un esperimento di heads-up è ( possibilità di teste) volte ( 1 / n possibilità Sto scelto per essere il clone che si è risvegliato). In termini più tecnici:$1/2$$1/n$

• L'insieme dei risultati delle teste è . Ce ne sono n .$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• L'evento in cui ti svegli con la testa è .$h(i) = \{hM_i\}$

• La possibilità di un particolare clone di SB essere stato svegliato con la moneta mostrando teste è uguale a Pr [ h ( i ) ] = Pr [ h ] × Pr [ h ( i ) | h ] = $i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

Probabilità di martedì

• L'insieme dei risultati delle code è . Ce ne sono . Tutti sono ugualmente probabili, in base alla progettazione.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• Tu, clone , sei risvegliato in di questi casi; vale a dire, i modi che puoi svegliare lunedì (ci sono cloni rimanenti da svegliare martedì) più i modi che puoi svegliare martedì (ci sono possibili cloni lunedì). Chiama questo evento .( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• La tua possibilità di essere risvegliato durante un esperimento di code-up è uguale a

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

Teorema di Bayes

Ora che siamo arrivati ​​così lontano, il teorema di Bayes - una tautologia matematica oltre ogni disputa - termina il lavoro. Ogni possibilità di testa di un clone è quindi

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

Perché SB è indistinguibile dai suoi cloni - anche a se stessa! - questa è la risposta che dovrebbe dare quando le viene chiesto il suo grado di fiducia nelle teste.

interpretazioni

La domanda "qual è la probabilità delle teste" ha due interpretazioni ragionevoli per questo esperimento: può chiedere la possibilità che una moneta giusta atterra le teste, che è (la risposta di Halfer), oppure può chiedi la possibilità che la moneta finisca, condizionata dal fatto che eri il clone svegliato. Questo è (la risposta di Thirder).Pr [ h | t ( i ) ∪ h ( i ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

Nella situazione in cui SB (o meglio una di una serie di macchine pensanti di Jaynes identicamente preparate) si trova, questa analisi - che molti altri hanno eseguito (ma penso in modo meno convincente, perché non hanno rimosso così chiaramente le distrazioni filosofiche nelle descrizioni sperimentali) - supporta la risposta di Thirder.

La risposta di Halfer è corretta, ma poco interessante, perché non pertinente alla situazione in cui SB si trova. Questo risolve il paradosso.

Questa soluzione è sviluppata nel contesto di un'unica configurazione sperimentale ben definita. Chiarire l'esperimento chiarisce la domanda. Una domanda chiara porta a una risposta chiara.

Commenti

Immagino che, seguendo Elga (2000), potresti legittimamente caratterizzare la nostra risposta condizionale come "contando la tua posizione temporale come rilevante per la verità di h", ma quella caratterizzazione non aggiunge alcuna intuizione al problema: riduce solo i fatti matematici in evidenza. Per me sembra essere solo un modo oscuro di affermare che l'interpretazione dei "cloni" della domanda di probabilità è quella corretta.

Questa analisi suggerisce che la questione filosofica di fondo è quella dell'identità : cosa succede ai cloni che non si sono risvegliati? Quali relazioni cognitive e noetiche hanno tra i cloni? - Ma quella discussione non è una questione di analisi statistica; appartiene a un altro forum .

Grazie per questo brillante post (+1) e soluzione (+1). Questo paradosso mi fa già venire il mal di testa.

Ho appena pensato alla seguente situazione che non richiede fate, miracoli o pozioni magiche. Lancia una moneta giusta lunedì a mezzogiorno. Su 'Tails' invia una mail ad Alice e Bob (in modo che non sappiano che l'altro ha ricevuto una tua posta e che non possono comunicare). Su 'teste', inviare una mail a uno di loro a caso (con probabilità ).$1/2$

Quando Alice riceve una mail, qual è la probabilità che la moneta sia atterrata su "Heads"? La probabilità che lei riceve una lettera è , e la probabilità che la moneta atterrato sul 'capi' è 1 / 3 .$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Qui non c'è alcun paradosso perché Alice non riceve una lettera con probabilità , nel qual caso lei conosce la moneta atterrato sul 'Heads. Il fatto che non chiediamo la sua opinione in quel caso, rende questa probabilità uguale a 0 .$1/4$

Quindi, qual è la differenza? Perché Alice avrebbe ricevuto informazioni ricevendo una mail e SB non avrebbe imparato nulla al risveglio?

Passando a una situazione più miracolosa, mettiamo a dormire 2 SB diversi. Se la moneta atterra su "Tails", svegliamo entrambi, se atterra su "Heads", ne svegliamo uno a caso. Anche in questo caso, ciascuno dei SB dovrebbe dire che la probabilità dello sbarco moneta sul 'capi' è e di nuovo non c'è alcun paradosso perché c'è un 1 / 4 possibilità che SB non sarebbe stato risvegliato.$1/3$$1/4$

Ma questa situazione è molto simile al paradosso originale perché cancellare la memoria (o clonare) equivale ad avere due SB diversi. Quindi, sono con @Douglas Zare qui (+1). SB ha imparato qualcosa essendo risvegliato. Il fatto che non possa esprimere la sua opinione martedì quando la moneta è "Heads" in su perché sta dormendo non cancella le informazioni che ha quando viene svegliata.

Secondo me il paradosso risiede nel fatto che " non ha imparato assolutamente nulla che non sapeva domenica sera ", che è dichiarato senza giustificazione. Abbiamo questa impressione perché le situazioni in cui è svegliata sono identiche, ma è proprio come Alice che riceve una mail: è il fatto che le venga chiesto il suo parere che le dia informazioni.

MAJOR EDIT : dopo averci riflettuto a fondo, cambio opinione: la bella addormentata non ha imparato nulla e l'esempio che ho dato sopra non è un buon analogo della sua situazione.

Ma qui c'è un problema equivalente che non è paradossale. Potrei giocare al seguente gioco con Alice e Bob: lancio una moneta in segreto e scommetto in modo indipendente 1 $ che non possono indovinarlo. Ma se la moneta atterra su "Tails", la scommessa di una delle due Alice di Bob viene annullata (il denaro non cambia mano). Dato che conoscono le regole, cosa dovrebbero scommettere?

'Heads' ovviamente. Se la moneta atterra su "Heads", guadagna 1 $ , altrimenti perde in media 0,5 $ . Vuol dire che credono che la moneta abbia una probabilità 2/3 di atterrare su "Heads"? Sicuramente no. Semplicemente il protocollo è tale che non guadagnano la stessa quantità di denaro per ogni risposta.

Credo che la bella addormentata si trovi nella stessa situazione di Alice o Bob. Gli eventi non le danno informazioni sul lancio , ma se le viene chiesto di scommettere, le sue probabilità non sono 1: 1 a causa delle asimmetrie nel guadagno. Credo che questo sia il significato di @whuber

La risposta di Halfer è corretta, ma poco interessante, perché non pertinente alla situazione in cui SB si trova. Questo risolve il paradosso.

"Ogni volta che SB si sveglia, non ha imparato assolutamente nulla che non sapeva domenica sera." Questo è sbagliato, sbagliato quanto dire "O vinco la lotteria o no, quindi la probabilità è del ". Ha imparato di essersi svegliata. Questa è informazione Ora dovrebbe credere che ogni possibile risveglio sia ugualmente probabile, non ogni lancio di una moneta.$50\%$

Se sei un medico e un paziente entra nel tuo ufficio, hai imparato che il paziente è entrato nell'ambulatorio, il che dovrebbe cambiare la tua valutazione dal precedente. Se tutti vanno dal medico, ma la metà malata della popolazione va volte più spesso della metà sana, allora quando il paziente entra, sai che probabilmente è malato.$100$

Ecco un'altra leggera variazione. Supponiamo che qualunque sia il risultato del lancio della moneta, La bella addormentata verrà svegliata due volte. Tuttavia, se si tratta di code, verrà svegliata bene due volte. Se si tratta di teste, verrà svegliata bene una volta e avrà una benna di ghiaccio gettata su di lei una volta. Se si sveglia in una catasta di ghiaccio, ha le informazioni che la moneta è venuta in testa. Se si sveglia bene, ha le informazioni che probabilmente la moneta non è venuta fuori di testa. Non può avere un test non degenerato il cui risultato positivo (ghiaccio) dice che le sue teste sono più probabili senza il risultato negativo (bello) che indica che le teste sono meno probabili.

Il paradosso sta nel cambiamento prospettico tra un singolo esperimento e il suo punto limite. Se si tiene conto del numero di esperimenti, è possibile comprenderlo in modo ancora più preciso del "o / o" di halver e terzi:

Singolo esperimento: i halver hanno ragione

Se c'è un singolo esperimento, ci sono tre risultati e devi solo capire le probabilità dal punto di vista del risveglio:

1. La testa è stata lanciata: 50%
2. La coda è stata lanciata e questo è il mio primo risveglio: 25%
3. La coda è stata lanciata e questo è il mio secondo risveglio: 25%

Quindi, in un singolo esperimento, in qualsiasi evento di risveglio, dovresti assumere il 50/50 di essere in uno stato in cui la testa è stata lanciata

Due esperimenti: il 42% ha ragione

Ora prova due esperimenti:

1. La testa è stata lanciata due volte: 25% (per entrambi i risvegli combinati)
2. La croce è stata lanciata due volte: 25% (per tutti e quattro i risvegli combinati)
3. Heads then Tails e questo è il mio primo risveglio: 25% / 3
4. Testa quindi croce e questo è il mio secondo o terzo risveglio: 25% * 2/3
5. Tails then Heads e questo il mio primo o secondo risveglio: 25% * 2/3
6. Tails then Heads e questo è il mio terzo risveglio: 25% / 3.

Quindi qui {1, 3, 6} sono i tuoi stati Heads, con una probabilità combinata di (25 + 25/3 + 25/3)%, 41,66%, che è inferiore al 50%. Se vengono eseguiti due esperimenti, in qualsiasi evento di riattivazione, dovresti assumere il 41,66% di probabilità di trovarti in uno stato in cui è stato lanciato Heads

Esperimenti infiniti: i terzi hanno ragione

Non ho intenzione di fare la matematica qui, ma se guardi le opzioni di due esperimenti, puoi vedere il n. 1 e il n. 2 guidarlo verso la metà, e il resto lo guida verso i terzi. All'aumentare del numero di esperimenti, le opzioni che guidano verso metà (tutte le teste / tutte le code) diminuiranno in probabilità fino a zero, lasciando che le opzioni "terzi" prendano il sopravvento. Se vengono eseguiti infiniti esperimenti, in qualsiasi evento di riattivazione, dovresti assumere 1/3 di probabilità di trovarti in uno stato in cui è stata lanciata la testa

Preventing Storta:

Ma il gioco d'azzardo?

Sì, nella singola istanza dell'esperimento, dovresti comunque "giocare d'azzardo" per i terzi. Questa non è un'incoerenza; è solo perché potresti piazzare la stessa scommessa più volte dato un determinato risultato e saperlo in anticipo. (O se non lo fai, la mafia lo fa).

Ok, che ne dici di due singoli esperimenti? Discrepanza molto?

No, perché la conoscenza del fatto che tu sia al primo o al secondo esperimento aggiunge alla tua, erm, conoscenza. Esaminiamo le opzioni dei "due esperimenti" e le filtriamo in base alla consapevolezza che sei nel primo esperimento.

1. Applicabile per il primo risveglio (1/2)
2. Applicabile per i primi due risvegli (2/4)
3. Applicabile
4. Mai applicabile
5. Applicabile per il primo risveglio (1/2)
6. Non applicabile

Va bene, prendi quelli Heads (1,3,6) moltiplicali, probabilità per applicabilità: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

Ora prendi quelli Tails (2,4,5) e fai lo stesso: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

Viola, sono gli stessi. Le informazioni aggiunte su quale esperimento stai effettivamente regolano le probabilità di ciò che conosci.

Ma i cloni !!

In poche parole, contrariamente a quanto postulato di risposta del PO, che la clonazione crea un esperimento equivalente: la clonazione, più selezione casuale fa cambiare la conoscenza del experimentee, nello stesso modo "più esperimenti" cambia l'esperimento. Se ci sono due cloni, puoi vedere che le probabilità di ciascun clone corrispondono alle probabilità dei due esperimenti . I cloni infiniti convergono in terzi. Ma non è lo stesso esperimento, e non è la stessa conoscenza, come un singolo esperimento con una singola materia non casuale.

Tu dici "quello casuale dell'infinito" e io dico la dipendenza di Assioma della scelta

Non lo so, la mia teoria degli insiemi non è eccezionale. Ma dato per N inferiore all'infinito, puoi stabilire una sequenza che converge da metà a un terzo, il caso infinito uguale a un terzo sarà vero o indecidibile nel peggiore dei casi, indipendentemente dagli assiomi che invochi.

Variamo il problema.

Se la moneta esce testa, allora SB non viene mai risvegliato.

Se Tails, SB viene svegliato una volta.

Ora i campi sono Halfers e Zeroers. E chiaramente gli Zeroer sono corretti.

Oppure: teste -> svegliato una volta; Code -> svegliato un milione di volte. Chiaramente, dato che è sveglia, è molto probabilmente la coda.

(PS In tema di "nuove informazioni" - le informazioni potrebbero essere state DISTRUTTE. Quindi, un'altra domanda è: ha perso informazioni che aveva una volta?)

"Ogni volta che SB si sveglia, non ha imparato assolutamente nulla che non sapeva domenica sera."

Questo non è corretto, che è l'errore nell'argomento halfer. Una cosa che rende difficile discutere, tuttavia, è che l'argomento halfer che si basa su questa affermazione è raramente espresso con un rigore maggiore di quello che ho citato.

Ci sono tre problemi. Innanzitutto, l'argomento non definisce il significato di "nuove informazioni". Sembra significare "Un evento che originariamente aveva una probabilità diversa da zero non può essersi verificato sulla base delle prove". In secondo luogo, non elenca mai ciò che è noto domenica per vedere se si adatta a questa definizione; e può, se lo guardi correttamente. Infine, non esiste un teorema che dice "se non si hanno nuove informazioni di questo tipo, non è possibile aggiornare". Se ce l'hai, il teorema di Bayes produrrà un aggiornamento. Ma è un errore concludere, se non si dispone di queste nuove informazioni, che non è possibile aggiornare. Essere un errore non significa che non sia vero, significa che non puoi fare questa conclusione basandoti solo su queste prove.

Domenica notte, diciamo che SB lancia un dado immaginario a sei facce. Dal momento che è immaginario, non può guardare il risultato. Ma lo scopo è vedere se corrisponde al giorno in cui è sveglia: un numero pari significa che corrisponde a lunedì, e un numero dispari significa martedì. Ma non può eguagliare entrambi, il che distingue efficacemente i due giorni.

SB ora può (cioè domenica) calcolare la probabilità per le otto possibili combinazioni di {Heads / Tails, Monday / Tuesday, Match / No Match}. Ciascuno sarà 1/8. Ma quando è sveglia, sa che {Heads, Tuesday, Match} e {Heads, Tuesday, No Match} non è successo. Ciò costituisce "nuove informazioni" della forma secondo cui l'argomentazione dei halfers non esiste e consente a SB di aggiornare la probabilità che la moneta del ricercatore sia atterrata sulla testa. È 1/3 se la sua moneta immaginaria corrisponde o meno al giorno reale. Dato che è lo stesso in entrambi i casi, è 1/3 a sapere se c'è una corrispondenza; e in effetti, indipendentemente dal fatto che rotoli o immagini di rotolare, il dado.

Questo dado in più sembra molto da affrontare per ottenere un risultato. In realtà, non è necessario, ma è necessaria una diversa definizione di "nuove informazioni" per capire perché. L'aggiornamento può avvenire in qualsiasi momento gli eventi significativi (cioè indipendenti e non a probabilità zero) nello spazio campione precedente differiscono dagli eventi significativi nello spazio campione posteriore. In questo modo, il denominatore del rapporto nel Teorema di Bayes non è 1. Mentre questo di solito si verifica quando l'evidenza rende alcuni degli eventi con probabilità zero, può anche verificarsi quando l'evidenza cambia se gli eventi sono indipendenti. Questa è un'interpretazione molto poco ortodossa, ma funziona perché alla Bellezza viene data più di un'opportunità per osservare un risultato. E il punto del mio morire immaginario, che distingue i giorni, era di rendere il sistema in uno in cui la probabilità totale fosse 1.

Domenica scorsa SB conosce P (Sveglia, Lunedì, Testa) = P (Sveglia, Lunedì, Code) = P (Sveglia, Martedì, Code) = 1/2. Questi si sommano a più di 1/2 perché gli eventi non sono indipendenti in base alle informazioni che SB ha domenica. Ma sono indipendenti quando è sveglia. La risposta, secondo il Teorema di Bayes, è (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3. Non c'è niente di sbagliato in un denominatore maggiore di 1; ma l'argomentazione della moneta immaginaria è stata progettata per realizzare le stesse cose senza un tale denominatore.

Sono appena inciampato in questo. Ho affinato alcuni dei miei pensieri dall'ultimo post e ho pensato che avrei potuto trovare un pubblico ricettivo per loro qui.

Prima di tutto, sulla filosofia di come affrontare una tale controversia: dire che esistono argomenti A e B. Ognuno ha una premessa, una sequenza di deduzioni e un risultato; e i risultati differiscono.

Il modo migliore per dimostrare che un argomento è errato è invalidare una delle sue deduzioni. Se ciò fosse possibile qui, non ci sarebbero polemiche. Un altro è confutare la premessa, ma non puoi farlo direttamente. Puoi argomentare perché non ci credi, ma ciò non risolverà nulla se non riuscirai a convincere gli altri a smettere di crederci.

Per dimostrare indirettamente una premessa errata, è necessario formare una sequenza alternativa di deduzioni da essa che porti a un'assurdità o a una contraddizione della premessa. Il modo fallace è di sostenere che il risultato opposto viola la tua premessa. Ciò significa che uno ha torto, ma non indica quale.

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La premessa del halfer è "nessuna nuova informazione". La loro sequenza di detrazioni è vuota - nessuna è necessaria. Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1/2.

I terzi (in particolare, Elga) hanno due premesse: Pr (H1 | Sveglia e lunedì) = Pr (T1 | Sveglia e lunedì) e Pr (T1 | Sveglia e code) = Pr (T2 | Sveglia e coda). Una sequenza incontrovertibile di detrazioni porta quindi a Pr (Heads | Awake) = 1/3.

Si noti che i terzi non assumono mai che ci siano nuove informazioni - le loro premesse si basano su qualsiasi informazione esistente - "nuova" o no - quando SB è sveglia. E non ho mai visto nessuno discutere del perché una premessa per la sete sia sbagliata, tranne per il fatto che viola il risultato del halfer. Quindi i halfer non hanno fornito nessuno degli argomenti validi che ho elencato. Solo quello fallace.

Ma ci sono altre deduzioni possibili da "nessuna nuova informazione", con una sequenza di detrazioni che iniziano con Pr (Heads | Awake) = 1/2. Uno è che Pr (Heads | Awake and Monday) = 2/3 e Pr (Tails | Awake and Monday) = 1/3. Ciò contraddice la premessa della sete, ma come ho già detto, ciò non aiuta la causa halfer poiché potrebbe ancora essere la loro premessa che è sbagliata. Ironia della sorte, questo risultato dimostra qualcosa - che la premessa halfer si contraddice. Domenica, SB dice Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday), quindi l'aggiunta delle informazioni "Awake" le ha permesso di aggiornare queste probabilità. Sono nuove informazioni.

Quindi ho dimostrato che la premessa del halfer non può essere corretta. Ciò non significa che i terzi abbiano ragione, ma significa che i metà non hanno fornito prove contrarie.

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C'è un altro argomento che trovo più convincente. Non è del tutto originale, ma non sono sicuro che il punto di vista corretto sia stato sufficientemente enfatizzato. Considera una variante dell'esperimento: SB viene sempre svegliato in entrambi i giorni; di solito è in una stanza che è dipinta di blu, ma martedì dopo Heads è in una stanza che è dipinta di rosso. Cosa dovrebbe dire la probabilità di Heads se si trova sveglia in una stanza blu?

Non credo che qualcuno sosterrebbe seriamente che si tratta di qualcosa di diverso da 1/3. Esistono tre situazioni che potrebbero corrispondere a quella attuale, tutte ugualmente probabili e solo una include i capi.

Il punto saliente è che non c'è differenza tra questa versione e l'originale. Ciò che "sa" - le sue "nuove informazioni" - è che non è H2. Non importa come, o SE , saprebbe che potrebbe essere H2 se potesse. La sua capacità di osservare situazioni che sa non applicare è irrilevante se sa che non si applicano.

Non posso credere alla premessa del halfer. Si basa su un fatto - che non può osservare H2 - che non può importare poiché può e osserva che non è H2.

Quindi spero di aver fornito un argomento convincente sul perché la premessa halfer non è valida. Lungo la strada, so di aver dimostrato che il risultato della sete deve essere corretto.

Un terzo dei possibili risvegli sono i risvegli delle teste e due terzi dei possibili risvegli sono i risvegli di Tails. Tuttavia, una metà delle principesse (o qualsiasi altra cosa) sono principesse Heads e una metà sono principesse Tails. Le principesse Tails, individualmente e in forma aggregata, sperimentano il doppio dei risvegli delle principesse Heads.

$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

$1/3$

(D'altra parte, un tecnico a cui è stato assegnato il compito di aiutare con il processo di veglia avrebbe davvero solo un terzo delle possibilità di essere assegnato a una principessa Heads.)

Quando si è risvegliato, fino a che punto dovrebbe si crede che il risultato del lancio della moneta era Heads?

Cosa intendi con " dovrebbe "? Quali sono le conseguenze delle mie convinzioni? In un simile esperimento non ci credo. Questa domanda è etichettata come decision-theory, ma, nel modo in cui questo esperimento è concepito, non ho alcun incentivo a prendere una decisione.

Possiamo modificare l'esperimento in diversi modi, così che mi sento incline a dare una risposta. Ad esempio, potrei indovinare se mi sono svegliato a causa di "Heads" o "Tails", e guadagnerei una caramella per ogni risposta corretta che do. In quel caso, ovviamente, deciderei su "Tails", perché, in ripetuti esperimenti, guadagnerei in media una caramella per esperimento: nel 50% dei casi il lancio sarebbe "Tails", mi sveglio due volte e guadagnerei una caramella entrambe le volte. Nell'altro 50% ("Heads") non guadagnerei nulla. Se dovessi rispondere a "Heads", guadagnerei solo mezza caramella per esperimento, perché avrei solo una possibilità di rispondere e avrei ragione il 50% delle volte. Se io stesso lanciassi una moneta giusta per la risposta, io '$3/4$

$3/8$$1/4$$1/4$$1/8$

come può essere risolto questo paradosso in modo statisticamente rigoroso? È possibile?

Definire "modo statisticamente rigoroso ". La domanda su una convinzione non ha alcuna rilevanza pratica. Sono importanti solo le azioni .

La domanda è ambigua e quindi sembra esserci solo un paradosso. La domanda si pone in questo modo:

Quando ti svegli, in che misura dovresti credere che il risultato del lancio della moneta fosse Heads?

Che è confuso con questa domanda:

Quando ti svegli, fino a che punto dovresti credere che Heads sia stato il motivo per cui ti sei svegliato ?

Nella prima domanda la probabilità è 1/2. Nella seconda domanda, 1/3.

Il problema è che si afferma la prima domanda, ma la seconda domanda è implicita nel contesto dell'esperimento. Coloro che accettano inconsciamente le implicazioni affermano che è 1/3. Coloro che hanno letto la domanda dicono letteralmente che è 1/2.

Coloro che sono confusi non sono sicuri di quale domanda stiano ponendo!

Mi piace molto questo esempio, ma direi che c'è un punto da confondere con un paio di distrazioni fastidiose.

Per evitare distrazioni fastidiose, si può cercare di discernere una rappresentazione schematica astratta del problema che è chiaramente al di là di ogni ragionevole dubbio (come una rappresentazione adeguata) e che può essere verificata in modo verificabile (ri-manipolata da altri qualificati) per dimostrare le affermazioni. Come semplice esempio, pensa a un rettangolo (matematico astratto) e all'affermazione che può essere trasformato in due triangoli.

Disegna un rettangolo a mano libera come rappresentazione di un rettangolo matematico (nel tuo disegno i quattro angoli non si aggiungeranno esattamente a 180 gradi e le linee adiacenti non saranno esattamente uguali o diritte ma non ci sarà alcun reale dubbio che rappresenti un vero rettangolo ). Ora manipolatelo tracciando una linea da un angolo opposto all'altro, cosa che chiunque altro potrebbe fare e otterrete una rappresentazione di due triangoli che nessuno avrebbe ragionevolmente dubitato. Qualsiasi interrogatorio su questo può essere così sembra una sciocchezza, lo è e basta.

Il punto che sto provando a sottolineare qui è che se ottieni una rappresentazione al di là di ogni ragionevole dubbio del problema SB come distribuzione di probabilità congiunta e puoi condizionare un evento che si verifica nell'esperimento in questa rappresentazione - allora afferma se qualcosa viene appreso da quell'evento può essere dimostrato da una manipolazione verificabile e non richiede discussioni o interrogativi (filosofici).

Ora presenterò meglio il mio tentativo e i lettori dovranno discernere se ci sono riuscito. Userò un albero delle probabilità per rappresentare le probabilità congiunte per dormire di giorno negli esperimenti (DSIE), esito del lancio della moneta lunedì (CFOM) e svegliato dato che uno dormiva nell'esperimento (WGSIE). Lo disegnerò (in realtà lo scrivo qui) in termini di p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM).

Vorrei chiamare DSIE e CFOM possibili incognite e WGSIE il possibile noto, quindi p (DSIE, CFOM) è un precedente e p (WGSIE | DSIE, CFOM) è un modello di dati o probabilità e si applica il teorema di Bayes, senza questa etichettatura è solo probabilità condizionata che è logicamente la stessa cosa.

Ora sappiamo che p (DSIE = lun) + p (DSIE = mar) = 1 e p (DSIE = mar) = ½ p (DSIE = lun)

quindi p (DSIE = lun) = 2/3 e p (DSIE = mar) = 1/3.

Ora P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mar) = 1.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.) È sempre uguale a uno.

Il precedente è uguale

P (DSIE = Mon, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Mon, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = martedì, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

Quindi un margine marginale precedente per CFOM = 1/3 H e 2/3 T e il posteriore dato che sei stato svegliato mentre dormi nell'esperimento - sarà lo stesso (poiché non si verifica alcun apprendimento) - quindi il tuo precedente è 2/3 T.

OK - dove ho sbagliato? Devo rivedere la mia teoria della probabilità?

Una semplice spiegazione per questo sarebbe che ci sono 3 modi in cui la bella addormentata può svegliare due dei quali provengono da un lancio di Tails. Quindi la probabilità deve essere 1/3 per un testa ogni volta che si sveglia. L'ho delineato in un post sul blog

L'argomento principale contro il punto di vista "halfer" è il seguente: in senso bayesiano, SB cerca sempre di vedere quali nuove informazioni ha. In realtà, nel momento in cui ha deciso di prendere parte all'esperimento, ha ulteriori informazioni che quando si sveglia potrebbe essere tra i giorni. O in altre parole, la mancanza di informazioni (cancellando la memoria) è ciò che sta fornendo le prove qui, sottilmente.

Come molte domande, dipende dal significato esatto della domanda:

Quando ti svegli, in che misura dovresti credere che il risultato del lancio della moneta fosse Heads?

Se lo interpretate come "quali sono le probabilità che una moneta lanciata sia Heads", ovviamente la risposta è "metà delle probabilità".

Ma quello che stai chiedendo non è (nella mia interpretazione) quello, ma "qual è la possibilità che l'attuale risveglio sia stato causato da un capo?". In quel caso, ovviamente solo un terzo dei risvegli sono causati da un Heads, quindi la risposta più probabile è "Tails".

Questa è una domanda molto interessante Darò la mia risposta come se dovessi essere bella addormentata. Sento un punto chiave da capire è che ci fidiamo al 100% dello sperimentatore.

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

Quindi (3) segue allo stesso modo, tranne per il fatto che non appena ti viene detto che questa è l'ultima volta che ti svegli, il numero di situazioni in cui puoi trovarti crolla a 2 (come ora le code e questa è la prima volta che eri risvegliarsi è impossibile).

$m$$n$$m≤n$

In particolare, se la moneta è 'Testa', verrà risvegliata su ...

$\cdots$
$\cdots$
$m$

... e se la moneta è "Tails", verrà risvegliata ...

$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

$n$$m$

$D_1$
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

Abbiamo già la risposta, ma calcoliamo anche la probabilità di "Heads" o "Tails" dato che il risveglio sta accadendo in un determinato giorno

$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

Sono consapevole che questa non è una risposta per coloro che credono nella risposta "1/3". Questo è solo un semplice uso delle probabilità condizionali. Pertanto, non credo che questo problema sia ambiguo e quindi un paradosso. È comunque confuso per il lettore rendendo poco chiari quali sono gli esperimenti casuali e quali i possibili eventi di quegli esperimenti.

Dal momento che la bella addormentata non riesce a ricordare quante volte si è svegliata prima, non stiamo osservando la probabilità di Heads dato che si è svegliata solo una volta, ma la probabilità di Heads dato che si è svegliata almeno una volta:

$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

Quindi la risposta è del 50% (i semestri hanno ragione) e non c'è paradosso.

Le persone sembrano rendere questo molto, molto più complesso di quanto non sia in realtà!

Non-statistially

In tutta la sua genialità geniale, la Bella Addormentata può eseguire l'ipotetico esperimento nel suo sonno, che formerà le sue convinzioni:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

Produzione:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

Quindi la nostra bella addormentata crederà di indovinare meglio le code.

E statisticamente?

L'algoritmo sopra non è quello a statistically rigorous waydi determinare cosa indovinare. Tuttavia, rende minacciosamente chiaro che in caso di code, lei può indovinare due volte , quindi indovinare le code ha il doppio delle probabilità di essere la giusta supposizione. Ciò deriva dalla procedura operativa dell'esperimento.

Probabilità frequentista

Frequentist Probability è un concetto di statistica basato sulle teorie di Fisher, Neyman e (Egon) Pearson.

$n$$E_{n}$

$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

E lei ci crede?

Quindi, quando finalmente arriva qui nel suo ragionamento, ha motivi statisticamente rigorosi su cui basare le sue credenze. Ma come alla fine li modellerà, dipende davvero dalla sua psiche.

Ho appena pensato a un nuovo modo di spiegare il mio punto, e cosa c'è di sbagliato nella risposta 1/2. Esegui due versioni dell'esperimento contemporaneamente, usando lo stesso lancio della moneta. Una versione è proprio come l'originale. Nell'altro, sono necessari tre (o quattro - non importa) volontari; a ciascuno viene assegnata una diversa combinazione di Heads-or-Tails e Monday-or-Tuesday (la combinazione Heads + Tuesday viene omessa se si utilizzano solo tre volontari). Etichettali rispettivamente HM, HT, TM e TT (eventualmente omettendo HT).

Se un volontario nella seconda versione viene svegliato in questo modo, sa che avrebbe avuto la stessa probabilità di essere stata etichettata come HM, TM o TT. In altre parole, la probabilità che sia stata etichettata HM, dato che è sveglia, è 1/3. Dato che il lancio della moneta e il giorno corrispondono a questo compito, può dedurre banalmente che P (Heads | Awake) = 1/3.

Il volontario nella prima versione potrebbe essere svegliato più di una volta. Ma poiché "oggi" è solo uno di quei due giorni possibili, quando è sveglia ha esattamente le stesse informazioni del volontario sveglio nella seconda versione. Sa che le sue circostanze attuali possono corrispondere all'etichetta applicata a uno, E SOLO UNO , di altri volontari. Cioè, può dire a se stessa "che anche il volontario etichettato HM, o HT, o TT è anche sveglio. Dato che ognuno è ugualmente probabile, c'è una probabilità di 1/3 che è HM e quindi una probabilità di 1/3 della moneta atterrato code ".

Il motivo per cui le persone commettono un errore è che confondono "è sveglio qualche volta durante l'esperimento" con "è sveglio ora". La risposta 1/2 viene dall'originale SB che dice a se stessa "o HM è l'unico altro volontario sveglio ADESSO , oppure TM e TT sono ENTRAMBI ATTIVI QUALCOSA DURANTE L'ESPERIMENTO . Poiché ogni situazione è ugualmente probabile, c'è una possibilità 1/2 è HM e quindi una probabilità di 1/2 la moneta è atterrata. " È un errore perché solo un altro volontario è sveglio ora.

Piuttosto che dare una risposta statisticamente rigorosa, mi piacerebbe modificare leggermente la domanda in modo tale da convincere le persone la cui intuizione li porta a diventare metà.

Alcuni ricercatori vogliono metterti a dormire. A seconda del lancio segreto di una bella moneta, ti risveglieranno una volta (teste) o novecentonovantanove volte (code). Dopo ogni risveglio ti riporteranno a dormire con un farmaco che ti farà dimenticare quel risveglio.

Quando ti svegli, che grado di credenza dovresti avere che il risultato del lancio della moneta fosse Heads?

Seguendo la stessa logica di prima, potrebbero esserci due campi:

• Halfers : il lancio della moneta era giusto, e SB lo sa, quindi dovrebbe credere che ci sia una metà delle possibilità di testa.
• Migliaia - se l'esperimento fosse ripetuto più volte, il lancio della moneta sarebbe la testa solo una su mille volte, quindi dovrebbe credere che la possibilità di teste sia una su mille.

Credo che parte della confusione della domanda, come originariamente formulata, derivi semplicemente dal fatto che non c'è molta differenza tra la metà e il terzo. Le persone pensano naturalmente alle probabilità come concetti un po 'confusi (in particolare quando la probabilità è un grado di credenza piuttosto che una frequenza) ed è difficile intuire la differenza tra i gradi di credenza di metà e un terzo.

Tuttavia, la differenza tra la metà e l'una su mille è molto più viscerale. Sostengo che sarà intuitivamente ovvio per più persone che la risposta a questo problema è una su mille, piuttosto che una metà. Sarei interessato a vedere un "halfer" difendere il loro argomento usando questa versione del problema.

Se la bella addormentata dovesse dire testa o croce, minimizzerebbe la sua prevista funzione di perdita 0-1 (valutata ogni giorno) selezionando le code. Se, tuttavia, la funzione di perdita 0-1 fosse valutata solo per ogni prova, allora sia la testa che la coda sarebbero ugualmente buone.

I terzi vincono

Invece di una moneta, consente di assumere un dado giusto:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

Ogni volta che le chiedono "in che misura dovresti credere che il risultato dei dadi è stato 1?"

I halfer diranno che la probabilità di dadi = 1 è 1/6. I terzi diranno che la probabilità di dadi = 1 è 1/21

Ma la simulazione risolve chiaramente il problema:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

Inoltre possiamo simulare il problema del lancio

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

L'apparente paradosso deriva dalla falsa premessa che le probabilità sono assolute. In effetti, le probabilità sono relative alla definizione degli eventi conteggiati.

$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

Entrambi P (teste) = 1/2 mondi (o nascite) e P (teste) = 1/3 istanti (o risvegli) sono veri, ma dopo essere stati addormentati la bella addormentata può solo calcolare le probabilità rispetto agli istanti perché sa che la sua memoria viene cancellata. (Prima di dormire, lo calcolava per quanto riguarda i mondi.)

Penso che l'errore provenga dai "terzi" e la mia ragione è che i "risvegli" non sono ugualmente probabili - se ti svegli, allora è più probabile che sia "la prima volta" che ti sei svegliato - un 75 % di probabilità in effetti.

Ciò significa che non è possibile contare allo stesso modo i "3 risultati" (head1, tails1, tails2).

$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

I calcoli sono chiaramente indicati nella risposta data da @ pit847, quindi non lo ripeterò nel mio.

$1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Quando la bella addormentata si sveglia, lei sa:

$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

$\mathcal{I}$

$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

$w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

PS

$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

A mio avviso, tuttavia, affermazioni di questo tipo sono tecnicamente inammissibili, poiché una probabilità è qualcosa che deve essere elaborato dalle proposizioni precedenti e conseguenti. La frase "il lancio segreto di una moneta giusta" solleva la domanda: come fa la bella addormentata a sapere che è giusto? Di quali informazioni dispone? Normalmente l'equità di una moneta ideale è determinata dal fatto che esistono due possibilità che sono informativamente equivalenti. Quando il lancio della moneta viene mischiato al fattore di risveglio, otteniamo tre possibilità che sono informativamente equivalenti. È essenzialmente una moneta ideale su tre lati, quindi arriviamo alla soluzione sopra.

In ritardo alla festa, lo so.

Questa domanda è molto simile al problema di Monty Hall, dove ti viene chiesto di indovinare quale delle 3 porte è il premio. Supponiamo che tu scelga la porta n. 1. Quindi il presentatore (che sa dove si trova il premio) rimuove la porta n. 3 dal gioco e chiede se desideri cambiare la tua ipotesi dalla porta n. 1 alla porta n. 2 o attenersi alla tua ipotesi iniziale. La storia continua, dovresti sempre cambiare, perché c'è una maggiore probabilità che il premio sia nella porta n. 2. Le persone di solito si confondono a questo punto e sottolineano che la probabilità che il premio sia in entrambe le porte è ancora 1/3. Ma non è questo il punto. La domanda non è quale sia la probabilità iniziale era, la vera domanda è quali sono le probabilità che la tua prima ipotesi sia stata corretta, rispetto a quali sono le probabilità che tu abbia sbagliato. In tal caso, dovresti cambiare, perché le probabilità che tu abbia sbagliato sono 2/3.

Come nel caso di Monty Hall, le cose diventano incredibilmente più chiare se trasformiamo 3 porte in un milione di porte. Se ci sono un milione di porte e scegli la porta n. 1 e il presentatore chiude le porte da 3 a un milione, lasciando in gioco solo le porte n. 1 e n. 2, cambieresti? Certo che lo faresti! Le probabilità che tu abbia scelto correttamente la porta n. 1 in primo luogo erano 1 su un milione. È probabile che tu non l'abbia fatto.

In altre parole, l'errore nel ragionamento deriva dal credere che la probabilità di compiere un'azione sia uguale alla probabilità che un'azione sia stata eseguita, quando il contesto tra i due non li rende dichiarazioni equivalenti. Frase diversa, a seconda del contesto e delle circostanze del problema, la probabilità di "scegliere correttamente" potrebbe non essere la stessa di "aver scelto correttamente".

Allo stesso modo con il problema della bella addormentata. Se non ti sei svegliato 2 volte nel caso di code, ma 1 milione di volte, ha più senso per te dire "questo risveglio attuale che sto vivendo in questo momento è molto più probabile che sia uno di quelli nel mezzo di un serie di milioni di risvegli da un tiro di Tails, che mi è appena capitato di imbattermi in quel singolo risveglio che è risultato da Heads ". L'argomento che si tratta di una moneta giusta non ha nulla a che fare con nulla qui. La moneta giusta ti dice solo quali sono le possibilità di "lanciare" teste, cioè la probabilità di doverti svegliare una volta contro un milione di volte, quando lanci per la prima volta quella moneta. Quindi, se chiedi a SB prima dell'esperimento di scegliere se dormirà una o un milione di volte prima di ogni lancio, la sua probabilità di "scegliere correttamente" è effettivamente del 50%.

Ma da quel momento in poi, supponendo esperimenti consecutivi, e il fatto che SB non le dica in quale esperimento si trova attualmente, in qualsiasi momento in cui si è svegliata, la probabilità di aver lanciato "Heads" è molto inferiore, poiché ha più probabilità di essere svegliato da uno dei milioni di risvegli che da uno solo.

Si noti che ciò implica esperimenti consecutivi, secondo la formulazione del problema. Se SB è rassicurato dall'inizio dell'esperimento che ci sarà un solo esperimento (cioè solo un toin coss), allora la sua convinzione risale al 50%, poiché in qualsiasi momento, il fatto che potrebbe essersi svegliata molte volte prima diventa irrilevante. In altre parole, in questo contesto, la probabilità di "scegliere correttamente" e di "aver scelto correttamente" diventa nuovamente equivalente.

Si noti inoltre che eventuali riformulazioni che utilizzano le "scommesse" sono anche domande diverse che cambiano completamente il contesto. Ad esempio, anche in un singolo esperimento, se dovessi guadagnare denaro ogni volta che hai indovinato correttamente, ovviamente sceglieresti la coda; ma questo perché la ricompensa attesa è più alta, non perché la probabilità di code sia diversa dalle teste. Pertanto, qualsiasi "soluzione" che introduce le scommesse è valida solo nella misura in cui fa collassare il problema con un'interpretazione molto particolare.

Prima che SB vada a dormire, crede che la probabilità che il prossimo lancio della moneta sia la testa è 1/2. Dopo essersi svegliata, crede che la possibilità che il lancio della moneta più recente sia stata la testa è 1/3. Questi eventi non sono la stessa cosa perché non esiste una corrispondenza uno a uno tra il risveglio e il lancio delle monete.

Che ne dici della seguente soluzione:

La domanda è valutare la probabilità che la moneta salga "teste". Quindi, se la bella addormentata fosse svegliata lunedì e sapesse che giorno è, dovrebbe davvero credere che la probabilità di "teste" sia del 50%.

Tuttavia, se fosse stata svegliata martedì e sapesse che giorno è, la probabilità che la moneta salisse teste sarebbe stata zero.

Pertanto, la conoscenza di quale giorno aggiunge informazioni cruciali modificando la probabilità di "teste".

La bella addormentata, tuttavia, non sa che giorno è quando si sveglia. Dobbiamo quindi determinare le probabilità di svegliarsi il lunedì o il martedì, rispettivamente.

Innanzitutto, consideriamo la probabilità che sia martedì. Quando lo sperimentatore lancia la moneta, il risultato decide quale scenario dell'esperimento seguirebbe. Se esce testa, l'OdV si sveglia solo il lunedì. Se è la coda viene svegliata sia il lunedì che il martedì. Le probabilità che l'esperimento segua uno di questi percorsi sono ovviamente 50/50. Ora, se siamo nel ramo dei "due risvegli", la probabilità che sia un martedì o un lunedì quando la SB si sveglia è del 50%. Possiamo così calcolare la probabilità totale che sia martedì quando SB si sveglia come 0,5 * 0,5 = 0,25. Ovviamente, allora, la probabilità che sia lunedì quando si sveglia è 1-0.25 = 0.75

Se l'OdV avesse saputo di essersi svegliata martedì, la probabilità che la moneta si fosse alzata "teste" sarebbe stata zero.

Se, tuttavia, avesse saputo di essersi svegliata lunedì, la probabilità che la moneta si fosse alzata "teste" sarebbe stata del 50%. Ma sappiamo che la probabilità che sia lunedì è 0.75. Quindi, per scoprire la probabilità totale che la moneta abbia "teste" dobbiamo moltiplicare 0,75 * 0,5 = 0,375

La risposta è quindi, la probabilità che la moneta sia arrivata "teste" è del 37,5%

Quanto sopra è solo un suggerimento. Per favore, sottolinea, se vedi difetti nel mio ragionamento.